Comment montrer qu'une fonction admet un minimum / maximum global sur une partie fermée bornée ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction admet un minimum / maximum global sur une partie fermée bornée ?

En invoquant le théorème : toute fonction continue sur un fermé borné de $\mathbb{R}^2$ y atteint ses bornes

Justifier l'existence (et éventuellement la détermination) d'un minimum et d'un maximum global d'une fonction continue sur une partie fermée bornée de $\mathbb{R}^2$ .

L'objectif

Justifier l'existence (et éventuellement la détermination) d'un minimum et d'un maximum global d'une fonction continue sur une partie fermée bornée de $\mathbb{R}^2$ .

Le principe

Théorème admis du B.O. : si $K$ est une partie fermée et bornée de $\mathbb{R}^2$ et si $f\colon K\to\mathbb{R}$ est continue, alors $f$ est bornée sur $K$ et atteint ses bornes (il existe $(a,b),(c,d)\in K$ tels que $f(a,b)=\min_K f$ et $f(c,d)=\max_K f$ ).

La méthode

1
Je rappelle (ou cite l'énoncé) que $K$ est une partie fermée bornée de $\mathbb{R}^2$ — la nature topologique est toujours indiquée au B.O.
2
Je vérifie que $f$ est continue sur $K$ (par opérations et composées de fonctions continues).
3
J'invoque le théorème admis : $f$ est bornée sur $K$ et atteint ses bornes, donc $f$ admet sur $K$ un minimum global et un maximum global.
4
Pour les localiser, je cherche les candidats : points critiques intérieurs (par $\nabla f=0$ sur l'intérieur de $K$ ) et points de la frontière (étude paramétrée), puis je compare les valeurs de $f$ pour conclure.
Comment déterminer les points critiques d'une fonction $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert ?Voir

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Exercice d'exemple

Justifier que $f\colon (x,y)\mapsto x^2+y^2$ admet un minimum et un maximum global sur le disque fermé $K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 1\}$ , puis les déterminer.

Étape 1 —

Je rappelle (ou cite l'énoncé) que

K

est une partie fermée bornée de

\mathbb{R}^2

— la nature topologique est toujours indiquée au B.O.

$K$ est le disque unité fermé ; l'énoncé (ou un résultat classique indiqué) garantit que $K$ est fermé borné de $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

f

est continue sur

K

(par opérations et composées de fonctions continues).

$f$ est polynomiale donc continue sur $K$ .

Étape 3 —

J'invoque le théorème admis :

f

est bornée sur

K

et atteint ses bornes, donc

f

admet sur

K

un minimum global et un maximum global.

Par le théorème admis, $f$ est bornée sur $K$ et atteint ses bornes : un min et un max global existent.

Étape 4 —

Pour les localiser, je cherche les candidats : points critiques intérieurs (par

\nabla f=0

sur l'intérieur de

K

) et points de la frontière (étude paramétrée), puis je compare les valeurs de

f

pour conclure.

Sur l'intérieur (disque ouvert), $\nabla f=(2x,2y)=0$ en $(0,0)$ avec $f(0,0)=0$ . Sur la frontière $x^2+y^2=1$ , $f\equiv 1$ . Le min global est $0$ atteint en $(0,0)$ , le max global est $1$ atteint sur tout le cercle unité.

Min global : $0$ en $(0,0)$ ; max global : $1$ sur tout le cercle $x^2+y^2=1$ .

Application guidée

Soit $f\colon (x,y)\mapsto x+y$ et $K=[0,1]\times[0,1]$ . Justifier l'existence d'extrema globaux et les déterminer.

Application autonome 1

Soit $f\colon (x,y)\mapsto xy$ et $K=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2\}$ . Justifier l'existence d'extrema globaux puis les déterminer.

Application autonome 2

Soit $f \colon (x, y) \mapsto x^2 - xy + y^2$ et $K = \{(x, y) \mid |x| \leq 1, |y| \leq 1\}$ . Justifier l'existence d'extrema globaux puis les déterminer.

Application autonome 3

Soit $f \colon (x, y) \mapsto x - 2y$ et $K = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 5\}$ . Justifier l'existence d'extrema globaux puis les déterminer.

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En invoquant le théorème : toute fonction continue sur un fermé borné de R2\mathbb{R}^2R2 y atteint ses bornes

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En invoquant le théorème : toute fonction continue sur un fermé borné de $\mathbb{R}^2$ y atteint ses bornes