Comment déterminer la dimension d'un sous-espace vectoriel ?

En exhibant une base et en comptant ses vecteurs

L'objectif

Calculer la dimension d'un sous-espace vectoriel en construisant une base explicite.

Le principe

Toutes les bases d'un sous-espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal, qui est par définition la dimension du sous-espace.

La méthode

1
J'exprime un vecteur générique $u \in F$ en fonction de paramètres libres en utilisant les équations qui définissent $F$ .
2
Je factorise pour écrire $F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)$ : la famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est génératrice de $F$ par construction.
3
Je vérifie que la famille $(v_1, \ldots, v_p)$ est libre (résolution de $\sum \lambda_i v_i = 0$ ou rang).
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir
4
Je conclus : $(v_1, \ldots, v_p)$ est une base de $F$ , donc $\dim F = p$ .

Difficulté croissante de 1 à 3

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