En montrant qu'elle est libre et génératrice

Prouver qu'une famille est une base d'un sous-espace en revenant à la définition.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $((1, 1, 0), (-1, 0, 1))$ est une base de $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\}$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille est une base d'un sous-espace en revenant à la définition.

Le principe

Une famille est une base de $F$ si et seulement si elle est à la fois libre et génératrice de $F$ .

La méthode

1
Je vérifie que tous les vecteurs de la famille appartiennent à $F$ .
2
Je prouve que la famille est libre (résolution de $\sum \lambda_i v_i = 0$ ou rang).
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir
3
Je prouve que la famille est génératrice : tout $u \in F$ s'écrit comme combinaison linéaire des $v_i$ .
Comment montrer qu'une famille est génératrice d'un sous-espace ?Voir
4
Je conclus : la famille est une base de $F$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $((1, 1, 0), (-1, 0, 1))$ est une base de $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x - y + z = 0\}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que tous les vecteurs de la famille appartiennent à

F

$1 - 1 + 0 = 0$ et $-1 - 0 + 1 = 0$ , donc les deux vecteurs appartiennent à $F$ .

Étape 2 —

Je prouve que la famille est libre (résolution de

\sum \lambda_i v_i = 0

ou rang).

$\lambda_1 (1,1,0) + \lambda_2 (-1,0,1) = (0,0,0)$ donne $\lambda_1 - \lambda_2 = 0$ , $\lambda_1 = 0$ , $\lambda_2 = 0$ , donc $\lambda_1 = \lambda_2 = 0$ : libre.

Étape 3 —

Je prouve que la famille est génératrice : tout

u \in F

s'écrit comme combinaison linéaire des

v_i

Tout $u = (x, y, z) \in F$ vérifie $x = y - z$ , donc $u = (y - z, y, z) = y (1, 1, 0) + z (-1, 0, 1)$ : génératrice.

Étape 4 —

Je conclus : la famille est une base de

F

La famille est une base de $F$ .

Base de $F$ , donc $\dim F = 2$ .

Application guidée

Montrer que $(1, X - 1, (X-1)^2)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Montrer que $\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\right)$ est une base de $F = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid \mathrm{tr}(M) = 0\}$ .

Application autonome 2

Montrer que $((1, 2, 1), (0, 1, -1), (1, 0, 2))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Montrer que $(1 + X, 1 - X, X^2)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

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