Comment montrer qu'une famille est une base ?

En montrant qu'elle est libre et génératrice

L'objectif

Prouver qu'une famille est une base d'un sous-espace en revenant à la définition.

Le principe

Une famille est une base de $F$ si et seulement si elle est à la fois libre et génératrice de $F$ .

La méthode

1
Je vérifie que tous les vecteurs de la famille appartiennent à $F$ .
2
Je prouve que la famille est libre (résolution de $\sum \lambda_i v_i = 0$ ou rang).
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir
3
Je prouve que la famille est génératrice : tout $u \in F$ s'écrit comme combinaison linéaire des $v_i$ .
Comment montrer qu'une famille est génératrice d'un sous-espace ?Voir
4
Je conclus : la famille est une base de $F$ .

Difficulté croissante de 1 à 3

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