Comment montrer qu'une famille est une base ?

En montrant qu'elle est libre et de cardinal égal à la dimension

L'objectif

Prouver qu'une famille est une base de $F$ lorsque $\dim F$ est connue, en se contentant de prouver sa liberté.

Le principe

Soit $F$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ ; toute famille libre de $F$ ayant $n$ éléments est une base de $F$ .

La méthode

1
Je détermine ou rappelle $\dim F = n$ .
2
Je vérifie que la famille $\mathcal{F} = (v_1, \ldots, v_p)$ contient exactement $p = n$ vecteurs.
3
Je montre que $\mathcal{F}$ est libre (par résolution directe ou par calcul de rang).
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir
4
Je conclus : $\mathcal{F}$ est une base de $F$ par le théorème ci-dessus.

Difficulté croissante de 1 à 3

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