En montrant qu'elle est libre et de cardinal égal à la dimension

Prouver qu'une famille est une base de $F$ lorsque $\dim F$ est connue, en se contentant de prouver sa liberté.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $((1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille est une base de $F$ lorsque $\dim F$ est connue, en se contentant de prouver sa liberté.

Le principe

Soit $F$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ ; toute famille libre de $F$ ayant $n$ éléments est une base de $F$ .

La méthode

1
Je détermine ou rappelle $\dim F = n$ .
2
Je vérifie que la famille $\mathcal{F} = (v_1, \ldots, v_p)$ contient exactement $p = n$ vecteurs.
3
Je montre que $\mathcal{F}$ est libre (par résolution directe ou par calcul de rang).
Comment montrer qu'une famille de vecteurs est libre ?Voir
4
Je conclus : $\mathcal{F}$ est une base de $F$ par le théorème ci-dessus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $((1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 4, 9))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je détermine ou rappelle

\dim F = n

$\dim \mathbb{R}^3 = 3$ .

Étape 2 —

Je vérifie que la famille

\mathcal{F} = (v_1, \ldots, v_p)

contient exactement

p = n

vecteurs.

La famille contient $3$ vecteurs : le cardinal coïncide avec la dimension.

Étape 3 —

Je montre que

\mathcal{F}

est libre (par résolution directe ou par calcul de rang).

La matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$ est une matrice de Vandermonde de paramètres $1, 2, 3$ distincts, donc inversible : $\mathrm{rg}(A) = 3$ et la famille est libre.

Étape 4 —

Je conclus :

\mathcal{F}

est une base de

F

par le théorème ci-dessus.

La famille est une base de $\mathbb{R}^3$ .

C'est une base de $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée

Montrer que $(1 + X, X + X^2, 1 + X^2)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Soit $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}$ , dont $\dim F = 2$ . Montrer que $((1, -1, 0), (1, 0, -1))$ est une base de $F$ .

Application autonome 2

Montrer que $((1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Soit $F = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid \mathrm{tr}(M) = 0\}$ (on admet $\dim F = 3$ ). Montrer que $\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\right)$ est une base de $F$ .

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