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Comment déterminer le noyau d'une application linéaire ?

En résolvant le système f(x)=0f(x) = 0 et en exhibant une base de l'ensemble des solutions

L'objectif

Déterminer ker⁡(f)\ker(f) et en donner une base, sa dimension, ainsi qu'éventuellement conclure sur l'injectivité.

Le principe

Le noyau ker⁡(f)={x∈E∣f(x)=0F}\ker(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\} est un sous-espace vectoriel de EE ; on le décrit comme l'ensemble des solutions du système linéaire homogène f(x)=0f(x) = 0.

La méthode
  1. 1
    Je pose x=(x1,…,xn)∈Ex = (x_1, \ldots, x_n) \in E et j'écris la condition f(x)=0f(x) = 0 sous forme d'un système linéaire homogène.
  2. 2
    Je résous le système (par substitution ou pivot de Gauss) et j'exprime les solutions à l'aide de paramètres libres.
  3. 3
    J'écris le vecteur solution générique comme combinaison linéaire de vecteurs explicites, ce qui fournit une famille génératrice de ker⁡(f)\ker(f).
  4. 4
    Je vérifie que cette famille est libre, et je conclus : « ker⁡(f)=Vect(…)\ker(f) = \mathrm{Vect}(\ldots), dim⁡ker⁡(f)=k\dim \ker(f) = k ».
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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