Variables aléatoires à densité — définition et moments

Comment montrer qu'une fonction $f$ positive est une densité de probabilité ?

Vérifier les trois conditions caractérisant une densité : positivité, continuité sauf en un nombre fini de points, et intégrale égale à $1$ sur $\mathbb{R}$.

Comment déterminer la fonction de répartition $F_X$ d'une variable à densité $X$ ?

Calculer $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en intégrant la densité par morceaux.

Comment retrouver une densité $f_X$ à partir d'une fonction de répartition $F_X$ ?

Dériver $F_X$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ pour obtenir une densité de $X$.

Comment déterminer la loi de $aX + b$ (transformation affine) à partir de celle de $X$ ?

Calculer $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)$ puis dériver pour obtenir la densité, en distinguant les cas $a > 0$ et $a < 0$.

Comment montrer que $X$ admet une espérance et la calculer ?

Établir la convergence absolue de $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ puis calculer cette intégrale.

Comment montrer que $X$ admet une variance et la calculer ?

Vérifier l'existence de $\mathbb{E}(X^2)$ et appliquer la formule $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$.

Comment appliquer le théorème de transfert ?

Calculer $\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous réserve de convergence absolue de l'intégrale.