Variables aléatoires à densité — définition et moments
Définition d'une variable aléatoire à densité, fonction de répartition, transformation affine, espérance, variance et théorème de transfert. On se limite aux densités ayant des limites finies à gauche et à droite en tout point de $\mathbb{R}$.
Choisissez une approche :
Comment montrer qu'une fonction positive est une densité de probabilité ?
Vérifier les trois conditions caractérisant une densité : positivité, continuité sauf en un nombre fini de points, et intégrale égale à $1$ sur $\mathbb{R}$.
Comment déterminer la fonction de répartition d'une variable à densité ?
Calculer $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en intégrant la densité par morceaux.
Comment retrouver une densité à partir d'une fonction de répartition ?
Dériver $F_X$ là où elle est de classe $\mathcal{C}^1$ pour obtenir une densité de $X$.
Comment déterminer la loi de (transformation affine) à partir de celle de ?
Calculer $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)$ puis dériver pour obtenir la densité, en distinguant les cas $a > 0$ et $a < 0$.
Comment montrer que admet une espérance et la calculer ?
Établir la convergence absolue de $\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ puis calculer cette intégrale.
Comment montrer que admet une variance et la calculer ?
Vérifier l'existence de $\mathbb{E}(X^2)$ et appliquer la formule $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$.
Comment appliquer le théorème de transfert ?
Calculer $\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous réserve de convergence absolue de l'intégrale.