Couples de variables aléatoires discrètes

Comment déterminer la loi conjointe d'un couple $(X, Y)$ ?

Décrire l'ensemble $X(\Omega) \times Y(\Omega)$ puis donner $P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ pour tous $(x_i, y_j)$.

Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi conjointe ?

Sommer la loi conjointe sur l'autre variable pour récupérer les lois de $X$ et de $Y$.

Comment déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = y]$ ?

Calculer $P_{[Y = y_j]}([X = x_i])$ à partir de la loi conjointe et de la loi marginale de $Y$.

Comment déterminer la loi de $Z = g(X, Y)$ (cas $X + Y$ ou $XY$) ?

Identifier $Z(\Omega)$ puis sommer la loi conjointe sur les antécédents de chaque valeur prise par $Z$.

Comment calculer $E(g(X, Y))$ par théorème de transfert ?

Appliquer la formule $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$.

Comment montrer l'indépendance de $X$ et $Y$ ?

Vérifier l'égalité $P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])$ pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$.

Comment calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$ ?

Utiliser $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)$ puis normaliser pour obtenir le coefficient de corrélation linéaire.

Comment calculer la variance d'une somme $V(X + Y)$ ?

Appliquer la formule $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$ après vérification des hypothèses d'existence.

Comment déterminer la loi du min ou du max de deux v.a. discrètes indépendantes ?

Passer par les fonctions de répartition : $P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k)$ et $P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)$.