En calculant $E(g(X))=\sum g(x) P(X=x)$ sous convergence absolue

Calculer $E(g(X))$ à partir de la loi de $X$ sans déterminer la loi de $Y=g(X)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ . Calculer $E\left(\frac{1}{X}\right)$ .

L'objectif

Calculer $E(g(X))$ à partir de la loi de $X$ sans déterminer la loi de $Y=g(X)$ .

Le principe

Théorème de transfert : quand $X(\Omega)$ est infini, $g(X)$ admet une espérance si et seulement si $\sum_{x\in X(\Omega)} g(x) P(X=x)$ converge absolument ; dans ce cas $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x) P(X=x)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $g$ est définie sur $X(\Omega)$ et j'écris formellement $\sum_{x \in X(\Omega)} |g(x)| P(X=x)$ .
2
Je justifie la convergence absolue par un critère adapté (d'Alembert, comparaison, domination).
3
Je calcule $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x) P(X=x)$ en reconnaissant une série connue (géométrique dérivée, série exponentielle…).
Comment utiliser la série exponentielle $\sum x^k/k!$ ?Voir
4
Je conclus en donnant la valeur exacte de $E(g(X))$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ . Calculer $E\left(\frac{1}{X}\right)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

g

est définie sur

X(\Omega)

et j'écris formellement

\sum_{x \in X(\Omega)} |g(x)| P(X=x)

$g(x)=\frac{1}{x}$ est définie sur $X(\Omega)=\mathbb{N}^*$ ; on étudie $\sum_{k\geq 1} \frac{1}{k}(1-p)^{k-1}p$ .

Étape 2 —

Je justifie la convergence absolue par un critère adapté (d'Alembert, comparaison, domination).

Par comparaison avec $\sum (1-p)^{k-1}$ (géométrique convergente) et $\frac{1}{k}\leq 1$ , la série converge absolument (termes positifs et majorés).

Étape 3 —

Je calcule

E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x) P(X=x)

en reconnaissant une série connue (géométrique dérivée, série exponentielle…).

$E\left(\frac{1}{X}\right)=\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k}(1-p)^{k-1}p=\frac{p}{1-p}\sum_{k\geq 1}\frac{(1-p)^k}{k}=-\frac{p}{1-p}\ln(p)$ (série du logarithme).

Étape 4 —

Je conclus en donnant la valeur exacte de

E(g(X))

Conclusion : $E\left(\frac{1}{X}\right)=-\frac{p\ln(p)}{1-p}$ .

$E\left(\frac{1}{X}\right)=-\frac{p\ln(p)}{1-p}$ .

Application guidée

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ . Calculer $E(2^X)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de loi uniforme sur $\{1, \dots, n\}$ . Calculer $E(X^2)$ .

Application autonome 2

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ . Calculer $E(\mathrm{e}^{-X})$ .

Application autonome 3

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ . Calculer $E((-1)^X)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant E(g(X))=∑g(x)P(X=x)E(g(X))=\sum g(x) P(X=x)E(g(X))=∑g(x)P(X=x) sous convergence absolue

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $E(g(X))=\sum g(x) P(X=x)$ sous convergence absolue