En calculant $E(g(X))=\sum g(x) P(X=x)$ sous convergence absolue

L'objectif

Calculer $E(g(X))$ à partir de la loi de $X$ sans déterminer la loi de $Y=g(X)$ .

Le principe

Théorème de transfert : quand $X(\Omega)$ est infini, $g(X)$ admet une espérance si et seulement si $\sum_{x\in X(\Omega)} g(x) P(X=x)$ converge absolument ; dans ce cas $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x) P(X=x)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $g$ est définie sur $X(\Omega)$ et j'écris formellement $\sum_{x \in X(\Omega)} |g(x)| P(X=x)$ .
2
Je justifie la convergence absolue par un critère adapté (d'Alembert, comparaison, domination).
3
Je calcule $E(g(X))=\sum_{x\in X(\Omega)} g(x) P(X=x)$ en reconnaissant une série connue (géométrique dérivée, série exponentielle…).
Comment utiliser la série exponentielle $\sum x^k/k!$ ?Voir
4
Je conclus en donnant la valeur exacte de $E(g(X))$ .

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Application guidée 1

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ . Calculer $E\left(\frac{1}{X}\right)$ .

Application guidée 2

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ . Calculer $E(2^X)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de loi uniforme sur $\{1, \dots, n\}$ . Calculer $E(X^2)$ .

Application autonome 2

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ . Calculer $E(\mathrm{e}^{-X})$ .

Application autonome 3

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ . Calculer $E((-1)^X)$ .

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En calculant E(g(X))=∑g(x)P(X=x)E(g(X))=\sum g(x) P(X=x)E(g(X))=∑g(x)P(X=x) sous convergence absolue

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