En écrivant $f(b)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$

Obtenir une égalité exacte reliant $f(b)$ , ses premières dérivées en $a$ et un reste intégral exploitable.

L'objectif

Obtenir une égalité exacte reliant $f(b)$ , ses premières dérivées en $a$ et un reste intégral exploitable.

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un intervalle contenant $a$ et $b$ , alors $f(b) = \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
On vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un intervalle contenant $a$ et $b$ (hypothèse indispensable pour que le reste intégral ait un sens).
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
2
On calcule les dérivées successives $f^{(k)}(a)$ pour $k=0,1,\dots,n$ (par récurrence ou en reconnaissant un motif).
3
On écrit la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ entre $a$ et $b$ : $f(b) = \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$ .
4
On exploite l'égalité selon le but : calcul explicite du reste par intégration, majoration pour obtenir un développement limité, ou passage à la limite quand $n\to +\infty$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $f \colon x \mapsto \mathrm{e}^x$ . Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ entre $0$ et $x\in\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

On vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^{n+1}

sur un intervalle contenant

a

b

(hypothèse indispensable pour que le reste intégral ait un sens).

$f \colon x\mapsto \mathrm{e}^x$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ , donc $\mathcal{C}^{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Étape 2 —

On calcule les dérivées successives

f^{(k)}(a)

pour

k=0,1,\dots,n

(par récurrence ou en reconnaissant un motif).

Pour tout $k\geq 0$ , $f^{(k)}(t) = \mathrm{e}^t$ , donc $f^{(k)}(0) = 1$ .

Étape 3 —

On écrit la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre

n

entre

a

b

f(b) = \sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \dfrac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t

Avec $a=0$ et $b=x$ : $\mathrm{e}^x = \sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} + \int_0^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$ .

Étape 4 —

On exploite l'égalité selon le but : calcul explicite du reste par intégration, majoration pour obtenir un développement limité, ou passage à la limite quand

n\to +\infty

Le reste $R_n(x) = \int_0^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$ tend vers $0$ quand $n\to+\infty$ , ce qui donnera le développement $\mathrm{e}^x = \sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^k}{k!}$ .

$\mathrm{e}^x = \displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{k!} + \int_0^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$ .

Application guidée

Soit $f \colon x \mapsto \sin(x)$ . Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $2$ entre $0$ et $x$ .

Application autonome 1

Soit $f \colon x \mapsto \ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$ . Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ entre $0$ et $x$ .

Application autonome 2

Soit $f\colon x\mapsto \cos(x)$ . Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $3$ entre $0$ et $x\in\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Soit $f\colon x\mapsto (1+x)^\alpha$ sur $]-1,+\infty[$ , avec $\alpha\in\mathbb{R}$ . Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $2$ entre $0$ et $x$ .

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En écrivant f(b)=∑k=0nf(k)(a)k!(b−a)k+∫ab(b−t)nn!f(n+1)(t) dtf(b)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}tf(b)=∑k=0n​k!f(k)(a)​(b−a)k+∫ab​n!(b−t)n​f(n+1)(t)dt

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $f(b)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t$