Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ ?

En utilisant les opérations (somme/produit/composée conservent $\mathcal{C}^\infty$ ) et en raisonnant par récurrence sur le degré de dérivabilité

L'objectif

Prouver qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ .

Le principe

Les fonctions usuelles (polynômes, $\exp$ , $\ln$ , $\sin$ , $\cos$ , $x\mapsto x^\alpha$ sur $\mathbb{R}_+^*$ ) sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur leur domaine, et la classe $\mathcal{C}^p$ est stable par somme, produit, quotient (en un point où le dénominateur ne s'annule pas) et composée.

La méthode

1
J'identifie le domaine $I$ sur lequel je travaille et je vérifie que toutes les fonctions élémentaires impliquées y sont bien définies (dénominateur non nul, argument du $\ln$ strictement positif, etc.).
2
Je reconnais $f$ comme résultat d'opérations (somme, produit, quotient, composée) de fonctions usuelles de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ .
3
J'invoque les théorèmes d'opérations qui disent que la classe $\mathcal{C}^p$ (et donc $\mathcal{C}^\infty$ ) est stable par ces opérations, pour conclure que $f$ est de classe $\mathcal{C}^p$ ou $\mathcal{C}^\infty$ sur $I$ .
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
4
Si besoin, je raisonne par récurrence sur $p$ : je montre qu'une hypothèse de régularité $\mathcal{C}^p$ entraîne $\mathcal{C}^{p+1}$ en dérivant la relation et en réutilisant la stabilité par opérations.

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Application guidée 1

Montrer que $f \colon x \mapsto \mathrm{e}^{x^2}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée 2

Montrer que $g \colon x \mapsto \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$ .

Application autonome 1

Soit $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $f(x) = x + \int_0^x f(t)\,\mathrm{d}t$ . Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Montrer que $f\colon x\mapsto\sin(x)\mathrm{e}^x$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Montrer que $h\colon x\mapsto\dfrac{1}{1+x^2}$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ .

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En utilisant les opérations (somme/produit/composée conservent C∞\mathcal{C}^\inftyC∞) et en raisonnant par récurrence sur le degré de dérivabilité

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En utilisant les opérations (somme/produit/composée conservent $\mathcal{C}^\infty$ ) et en raisonnant par récurrence sur le degré de dérivabilité