Comment appliquer la négligeabilité $u_n=o(v_n)$ avec $v_n$ positive convergente ? | MetMat

Comment appliquer la négligeabilité $u_n=o(v_n)$ avec $v_n$ positive convergente ?

En montrant $u_n=o(v_n)$ avec $\sum v_n$ positive convergente

L'objectif

Démontrer la convergence d'une série en exploitant une relation de négligeabilité avec une série convergente à termes positifs.

Le principe

Si $v_n\geq 0$ , $\sum v_n$ converge et $u_n=o(v_n)$ , alors $\sum u_n$ est absolument convergente, donc convergente.

La méthode

1
On cherche une suite positive $v_n\geq 0$ telle que $\sum v_n$ converge (typiquement Riemann avec $\alpha>1$ , géométrique ou exponentielle).
2
On montre $u_n=o(v_n)$ , c'est-à-dire $u_n/v_n\to 0$ (souvent par croissances comparées).
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
3
Par le théorème de négligeabilité, $\sum |u_n|$ converge, et donc $\sum u_n$ converge.

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Application guidée 1

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{\ln n}{n^2}$ .

Application guidée 2

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 0} n^{100} e^{-n}$ .

Application autonome 1

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{n^3}{2^n}$ .

Application autonome 2

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n!}$ via négligeabilité.

Application autonome 3

Étudier la nature de $\sum_{n\geqslant 1} \dfrac{(\ln n)^{10}}{n^2}$ .

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En montrant un=o(vn)u_n=o(v_n)un​=o(vn​) avec ∑vn\sum v_n∑vn​ positive convergente

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En montrant $u_n=o(v_n)$ avec $\sum v_n$ positive convergente