En calculant $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ (finie) et en posant $\tilde f(a)=\ell$

Obtenir une fonction $\tilde f$ continue sur tout un intervalle $I$ à partir d'une fonction $f$ définie sur $I \setminus \{a\}$ .

L'objectif

Obtenir une fonction $\tilde f$ continue sur tout un intervalle $I$ à partir d'une fonction $f$ définie sur $I \setminus \{a\}$ .

Le principe

Si $f \colon I \setminus \{a\} \to \mathbb{R}$ admet une limite finie $\ell$ en $a$ , alors la fonction $\tilde f$ définie par $\tilde f(x) = f(x)$ sur $I \setminus \{a\}$ et $\tilde f(a) = \ell$ est continue en $a$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est définie et continue sur $I \setminus \{a\}$ et j'identifie le point $a$ problématique.
2
Je calcule $\lim_{x \to a} f(x)$ (opérations algébriques, taux d'accroissement, croissances comparées…) et je vérifie qu'elle est finie, égale à $\ell$ .
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
3
Je pose $\tilde f(a) = \ell$ et $\tilde f(x) = f(x)$ pour $x \neq a$ ; par construction $\tilde f$ est continue en $a$ , donc sur $I$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir

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Exercice d'exemple

Prolonger par continuité en $0$ la fonction $f \colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R},\ x \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est définie et continue sur

I \setminus \{a\}

et j'identifie le point

a

problématique.

$f$ est continue sur $\mathbb{R}^*$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas ; le point problématique est $a = 0$ .

Étape 2 —

Je calcule

\lim_{x \to a} f(x)

(opérations algébriques, taux d'accroissement, croissances comparées…) et je vérifie qu'elle est finie, égale à

\ell

Par le taux d'accroissement de $\sin$ en $0$ , $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \sin'(0) = \cos(0) = 1$ , limite finie.

Étape 3 —

Je pose

\tilde f(a) = \ell

\tilde f(x) = f(x)

pour

x \neq a

; par construction

\tilde f

est continue en

a

, donc sur

I

On pose $\tilde f(0) = 1$ et $\tilde f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ : $\tilde f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

$\tilde f(0) = 1$ .

Application guidée

Prolonger par continuité en $1$ la fonction $f \colon \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R},\ x \mapsto \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Application autonome 1

Prolonger par continuité en $0$ la fonction $f \colon \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R},\ x \mapsto x \ln(x)$ .

Application autonome 2

La fonction $f \colon \mathbb{R}^* \to \mathbb{R},\ x \mapsto \frac{1}{x}$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ?

Application autonome 3

Prolonger par continuité en $0$ la fonction $f\colon \mathbb{R}^*\to\mathbb{R}$ , $x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^x-1}{x}$ .

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En calculant lim⁡x→af(x)=ℓ\lim_{x\to a} f(x)=\elllimx→a​f(x)=ℓ (finie) et en posant f~(a)=ℓ\tilde f(a)=\ellf~​(a)=ℓ

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En calculant $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ (finie) et en posant $\tilde f(a)=\ell$