En encadrant $f(x)$ par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite

L'objectif

Conclure à l'existence d'une limite en bornant $f$ par deux fonctions convergeant vers la même valeur, ou en passant par une suite.

Le principe

Si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ au voisinage de $a$ avec $\lim g=\lim h=\ell$ , alors $\lim f=\ell$ ; et si $f$ a pour limite $\ell$ en $a$ , alors pour toute suite $(u_n)\to a$ , $(f(u_n))\to\ell$ .

La méthode

1
Je repère l'expression à encadrer (souvent avec $\sin$ , $\cos$ , partie entière, ou $|\cdot|$ ) et le point $a$ où j'étudie la limite.
2
Je choisis deux fonctions $g$ et $h$ telles que $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ au voisinage de $a$ en majorant et minorant les termes bornés.
3
Je calcule $\lim_{x\to a} g(x)$ et $\lim_{x\to a} h(x)$ et je vérifie qu'elles sont égales à $\ell$ .
4
J'applique le théorème d'encadrement (ou, si l'on passe par une suite, le théorème de composition limite-suite) et je conclus $\lim_{x\to a} f(x)=\ell$ .
Comment calculer la limite par encadrement (gendarmes) ?Voir

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Calculer $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x}$ .

Application guidée 2

Calculer $\lim_{x\to 0} x^2\cos\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{n\to+\infty} \mathrm{e}^{1/n}$ en utilisant la composition avec une suite.

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos(x)+\sin(x)}{x}$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x\to 0^+}x\ln(x)$ par composition avec une suite.

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En encadrant f(x)f(x)f(x) par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite

Évalue la méthode

En encadrant $f(x)$ par deux fonctions de même limite, ou en composant avec une suite