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Comment lever une forme indéterminée ?

En utilisant les croissances comparées xaln⁡(x)bx^a \ln(x)^b, xae−bxx^a e^{-bx}

L'objectif

Déterminer la limite d'un produit ou quotient mêlant puissances, ln⁡\ln et ex\mathrm{e}^x en exploitant la hiérarchie des croissances.

Le principe

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de xx en ±∞\pm\infty, et toute puissance de xx l'emporte sur toute puissance de ln⁡(x)\ln(x) en +∞+\infty et en 0+0^+.

La méthode
  1. 1
    J'identifie la forme indéterminée (souvent 0×∞0\times\infty ou ∞∞\frac{\infty}{\infty}) et les fonctions en présence (puissance, ln⁡\ln, ex\mathrm{e}^x).
  2. 2
    Je choisis la croissance comparée adaptée : lim⁡x→+∞xae−bx=0\lim_{x\to+\infty} x^a\mathrm{e}^{-bx}=0 (b>0)(b>0), lim⁡x→+∞ln⁡(x)bxa=0\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)^b}{x^a}=0 (a>0)(a>0), lim⁡x→0+xa∣ln⁡x∣b=0\lim_{x\to 0^+} x^a|\ln x|^b=0 (a>0)(a>0).
    Voir
  3. 3
    Je mets l'expression sous la forme standard d'une croissance comparée, éventuellement par changement de variable.
    Voir
  4. 4
    J'applique le théorème et je conclus.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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