Comment effectuer un changement de variable $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ? | MetMat

Comment effectuer un changement de variable $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?

En posant $t=\varphi(u)$ $\mathcal{C}^1$ strictement monotone, $\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$

Transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple à l'aide d'un changement de variable de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $I = \int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t$ .

L'objectif

Transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple à l'aide d'un changement de variable de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone.

Le principe

Si $\varphi : [\alpha,\beta] \to [a,b]$ est de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone avec $\varphi(\alpha)=a$ , $\varphi(\beta)=b$ , et si $f$ est continue sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ .

La méthode

1
Je pose le changement $t=\varphi(u)$ en identifiant $\varphi$ via la structure de l'intégrande (par exemple $t = u^2$ , $t = \ln u$ , $t = e^u$ ).
2
Je vérifie que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et strictement monotone sur l'intervalle de travail, puis j'écris $\mathrm{d}t = \varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ .
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
3
Je transforme les bornes : je cherche $\alpha$ et $\beta$ tels que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ .
4
Je réécris l'intégrale sous la forme $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ et je la calcule (souvent via primitive).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $I = \int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

Je pose le changement

t=\varphi(u)

en identifiant

\varphi

via la structure de l'intégrande (par exemple

t = u^2

t = \ln u

t = e^u

Je pose $t = \varphi(u) = u^2$ pour faire disparaître la racine.

Étape 2 —

Je vérifie que

\varphi

est de classe

\mathcal{C}^1

et strictement monotone sur l'intervalle de travail, puis j'écris

\mathrm{d}t = \varphi'(u)\,\mathrm{d}u

$\varphi$ est $\mathcal{C}^1$ et strictement croissante sur $[0,1]$ , et $\mathrm{d}t = 2u\,\mathrm{d}u$ .

Étape 3 —

Je transforme les bornes : je cherche

\alpha

\beta

tels que

\varphi(\alpha)=a

\varphi(\beta)=b

Bornes : $t=0 \Leftrightarrow u=0$ et $t=1 \Leftrightarrow u=1$ .

Étape 4 —

Je réécris l'intégrale sous la forme

\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\varphi'(u)\,\mathrm{d}u

et je la calcule (souvent via primitive).

$I = \int_0^1 \frac{2u}{1+u}\,\mathrm{d}u = \int_0^1 \left(2 - \frac{2}{1+u}\right)\mathrm{d}u = \big[2u - 2\ln(1+u)\big]_0^1 = 2 - 2\ln 2$ .

$I = 2 - 2\ln 2$ .

Application guidée

Calculer $J = \int_1^{e} \frac{1}{t(1+\ln t)}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 1

Calculer $K = \displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \frac{(\ln t)^2}{t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 2

Calculer $I=\int_0^1 \dfrac{\mathrm{e}^t}{1+\mathrm{e}^t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 3

Calculer $J=\int_0^{1}\dfrac{t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ via un changement de variable.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant t=φ(u)t=\varphi(u)t=φ(u) C1\mathcal{C}^1C1 strictement monotone, dt=φ′(u) du\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}udt=φ′(u)du

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $t=\varphi(u)$ $\mathcal{C}^1$ strictement monotone, $\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$