Comment effectuer un changement de variable $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ? | MetMat

Comment effectuer un changement de variable $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?

En posant $t=\varphi(u)$ $\mathcal{C}^1$ strictement monotone, $\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$

L'objectif

Transformer une intégrale compliquée en une intégrale plus simple à l'aide d'un changement de variable de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone.

Le principe

Si $\varphi : [\alpha,\beta] \to [a,b]$ est de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone avec $\varphi(\alpha)=a$ , $\varphi(\beta)=b$ , et si $f$ est continue sur $[a,b]$ , alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t = \int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\,\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ .

La méthode

1
Je pose le changement $t=\varphi(u)$ en identifiant $\varphi$ via la structure de l'intégrande (par exemple $t = u^2$ , $t = \ln u$ , $t = e^u$ ).
2
Je vérifie que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et strictement monotone sur l'intervalle de travail, puis j'écris $\mathrm{d}t = \varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ .
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
3
Je transforme les bornes : je cherche $\alpha$ et $\beta$ tels que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ .
4
Je réécris l'intégrale sous la forme $\int_\alpha^\beta f(\varphi(u))\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ et je la calcule (souvent via primitive).

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Application guidée 1

Calculer $I = \int_0^1 \frac{1}{1+\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t$ .

Application guidée 2

Calculer $J = \int_1^{e} \frac{1}{t(1+\ln t)}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 1

Calculer $K = \int_0^{\ln 2} \frac{e^t}{1+e^{2t}}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 2

Calculer $I=\int_0^1 \dfrac{\mathrm{e}^t}{1+\mathrm{e}^t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 3

Calculer $J=\int_0^{1}\dfrac{t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ via un changement de variable.

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En posant t=φ(u)t=\varphi(u)t=φ(u) C1\mathcal{C}^1C1 strictement monotone, dt=φ′(u) du\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}udt=φ′(u)du

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En posant $t=\varphi(u)$ $\mathcal{C}^1$ strictement monotone, $\mathrm{d}t=\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$