En résolvant $y = f(x)$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$

Donner une expression explicite de $f^{-1} \colon F \to E$ à partir d'une application bijective $f \colon E \to F$ .

L'objectif

Donner une expression explicite de $f^{-1} \colon F \to E$ à partir d'une application bijective $f \colon E \to F$ .

Le principe

Si $f$ est bijective de $E$ sur $F$ , pour tout $y \in F$ l'équation $y = f(x)$ admet une unique solution $x \in E$ et cette solution définit $f^{-1}(y) = x$ .

La méthode

1
Je m'assure que $f$ est bijective de $E$ sur $F$ (par une méthode précédente) et je fixe $y \in F$ .
Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?Voir
2
Je résous l'équation $y = f(x)$ d'inconnue $x \in E$ , en manipulant l'expression pour isoler $x$ .
3
Je conclus en donnant $f^{-1} \colon F \to E,\ y \mapsto x(y)$ , et je vérifie éventuellement $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_F$ .

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Exercice d'exemple

Déterminer la réciproque de $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto 3x + 5$ .

Étape 1 —

Je m'assure que

f

est bijective de

E

sur

F

(par une méthode précédente) et je fixe

y \in F

$f$ est bijective de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ (affine non constante) ; soit $y \in \mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je résous l'équation

y = f(x)

d'inconnue

x \in E

, en manipulant l'expression pour isoler

x

$y = 3x + 5 \Leftrightarrow x = \frac{y - 5}{3}$ .

Étape 3 —

Je conclus en donnant

f^{-1} \colon F \to E,\ y \mapsto x(y)

, et je vérifie éventuellement

f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_F

Donc $f^{-1} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ y \mapsto \frac{y - 5}{3}$ .

$f^{-1}(y) = \frac{y - 5}{3}$ .

Application guidée

Déterminer la réciproque de $f \colon [0, +\infty[ \to [1, +\infty[,\ x \mapsto x^2 + 1$ .

Application autonome 1

Déterminer la réciproque de $f \colon \mathbb{R} \to ]0, +\infty[,\ x \mapsto e^{2x + 1}$ .

Application autonome 2

Déterminer la réciproque de $f \colon \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\},\ x \mapsto \frac{2x}{x - 1}$ .

Application autonome 3

Déterminer la réciproque de $f\colon ]1,+\infty[\to ]0,+\infty[$ , $x\mapsto \ln(x-1)$ .

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En résolvant y=f(x)y = f(x)y=f(x) pour exprimer xxx en fonction de yyy

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En résolvant $y = f(x)$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$