En montrant que l'équation $f(x) = y$ admet une solution pour tout $y$

Établir la surjectivité d'une application $f \colon E \to F$ en montrant que tout $y \in F$ possède un antécédent.

L'objectif

Établir la surjectivité d'une application $f \colon E \to F$ en montrant que tout $y \in F$ possède un antécédent.

Le principe

$f$ est surjective si et seulement si $\forall y \in F,\ \exists x \in E,\ f(x) = y$ .

La méthode

1
Je fixe un $y \in F$ quelconque et je cherche à résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x \in E$ .
2
J'exhibe explicitement un candidat $x \in E$ (en fonction de $y$ ) et je vérifie qu'il appartient bien à $E$ .
3
Je vérifie que $f(x) = y$ , ce qui prouve qu'un antécédent existe pour tout $y$ : $f$ est surjective.
Comment montrer qu'une application linéaire est injective / surjective / bijective ?Voir

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Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto 3x + 5$ est surjective.

Étape 1 —

Je fixe un

y \in F

quelconque et je cherche à résoudre l'équation

f(x) = y

d'inconnue

x \in E

Soit $y \in \mathbb{R}$ . Je résous $3x + 5 = y$ , soit $x = \frac{y - 5}{3}$ .

Étape 2 —

J'exhibe explicitement un candidat

x \in E

(en fonction de

y

) et je vérifie qu'il appartient bien à

E

Le réel $x = \frac{y - 5}{3}$ appartient bien à $\mathbb{R}$ (l'ensemble de départ).

Étape 3 —

Je vérifie que

f(x) = y

, ce qui prouve qu'un antécédent existe pour tout

y

f

est surjective.

On vérifie $f(x) = 3 \cdot \frac{y - 5}{3} + 5 = y$ , donc $f$ est surjective.

$f$ est surjective.

Application guidée

L'application $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$ est-elle surjective ?

Application autonome 1

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to [0, +\infty[,\ x \mapsto x^2$ est surjective.

Application autonome 2

Montrer que $f\colon \mathbb{R}\to ]-1,1[$ , $x\mapsto \tanh(x)$ est surjective.

Application autonome 3

Montrer que $f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ , $(x,y)\mapsto (x+y, x-y)$ est surjective.

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