En appliquant $f(x)=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(0)/k!\,x^k + o(x^n)$ (f de classe $\mathcal{C}^\infty$ )

Obtenir le DL en $0$ d'une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^n$ par calcul direct des dérivées successives.

L'objectif

Obtenir le DL en $0$ d'une fonction $f$ de classe $\mathcal{C}^n$ par calcul direct des dérivées successives.

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ au voisinage de $0$ , alors $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n)$ , et l'unicité du DL garantit que cette écriture EST le DL d'ordre $n$ de $f$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur un voisinage de $0$ et je fixe l'ordre $n$ .
Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?Voir
2
Je calcule $f(0), f'(0), f''(0), \dots, f^{(n)}(0)$ en dérivant $n$ fois puis en évaluant en $0$ .
3
J'écris $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n)$ en remplaçant chaque coefficient par sa valeur.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Retrouver par Taylor-Young le DL à l'ordre $3$ de $f(x)=e^x$ en $0$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^n

sur un voisinage de

0

et je fixe l'ordre

n

$f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ , je fixe $n=3$ .

Étape 2 —

Je calcule

f(0), f'(0), f''(0), \dots, f^{(n)}(0)

en dérivant

n

fois puis en évaluant en

0

Pour tout $k$ , $f^{(k)}(x)=e^x$ donc $f^{(k)}(0)=1$ , d'où $f^{(0)}(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(0)=1$ .

Étape 3 —

J'écris

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n)

en remplaçant chaque coefficient par sa valeur.

J'injecte : $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$ .

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$ .

Application guidée

DL à l'ordre $2$ de $f(x)=\sqrt{1+x}$ en $0$ par Taylor-Young.

Application autonome 1

DL à l'ordre $3$ de $f(x)=\ln(1+x)$ en $0$ par Taylor-Young.

Application autonome 2

DL à l'ordre $2$ de $f(x)=\ln(1+x^2)$ en $0$ par Taylor-Young direct.

Application autonome 3

DL à l'ordre $3$ de $f(x)=\cos(x)$ en $0$ par Taylor-Young.

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En appliquant f(x)=∑k=0nf(k)(0)/k! xk+o(xn)f(x)=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(0)/k!\,x^k + o(x^n)f(x)=∑k=0n​f(k)(0)/k!xk+o(xn) (f de classe C∞\mathcal{C}^\inftyC∞)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $f(x)=\sum_{k=0}^n f^{(k)}(0)/k!\,x^k + o(x^n)$ (f de classe $\mathcal{C}^\infty$ )