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Comment montrer qu'une suite est négligeable devant une autre ? | MetMat

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Comment montrer qu'une suite est négligeable devant une autre ?

En montrant $u_n/v_n \to 0$

L'objectif

Établir $u_n = o(v_n)$ pour deux suites réelles.

Le principe

Par définition, si $v_n \neq 0$ à partir d'un certain rang, $u_n = o(v_n) \iff \dfrac{u_n}{v_n} \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $v_n$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang $n_0$ afin de former le quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ .
2
Je calcule la limite de $\dfrac{u_n}{v_n}$ lorsque $n \to +\infty$ (factorisation par le terme dominant, croissances comparées, équivalents déjà connus).
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
3
Si $\dfrac{u_n}{v_n} \to 0$ , je conclus $u_n = o(v_n)$ .

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Application guidée 1

Montrer que $n = o(n^2)$ .

Application guidée 2

Montrer que $\ln n = o(n)$ .

Application autonome 1

Montrer que $n^{100} = o(2^n)$ .

Application autonome 2

Montrer que $u_n = \dfrac{1}{n^2}$ est négligeable devant $v_n = \dfrac{1}{n}$ .

Application autonome 3

Montrer que $u_n=\dfrac{\ln(n)}{n^{3/2}}$ est négligeable devant $v_n=\dfrac{1}{n}$ .

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En montrant un/vn→0u_n/v_n \to 0un​/vn​→0

Évalue la méthode

En montrant $u_n/v_n \to 0$