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Comment calculer le rang et appliquer la formule du rang ?

En appliquant dim⁡E=dim⁡(Ker f)+rg(f)\dim E = \dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f)

L'objectif

Calculer rg(f)\mathrm{rg}(f) ou dim⁡(Ker f)\dim(\mathrm{Ker}\,f) quand on connaît l'autre, grâce à la formule du rang.

Le principe

Si EE est de dimension finie et f ⁣:E→Ff\colon E\to F est linéaire, alors dim⁡E=dim⁡(Ker f)+rg(f)\dim E=\dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f).

La méthode
  1. 1
    Je vérifie que EE est de dimension finie et je note n=dim⁡En=\dim E.
  2. 2
    Je détermine celle des deux quantités dim⁡(Ker f)\dim(\mathrm{Ker}\,f) ou rg(f)\mathrm{rg}(f) qui est la plus simple à calculer directement.
  3. 3
    J'applique la formule dim⁡E=dim⁡(Ker f)+rg(f)\dim E=\dim(\mathrm{Ker}\,f)+\mathrm{rg}(f) pour obtenir l'autre.
  4. 4
    J'interprète : si rg(f)=dim⁡F\mathrm{rg}(f)=\dim F alors ff est surjective ; si dim⁡(Ker f)=0\dim(\mathrm{Ker}\,f)=0 alors ff est injective.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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