Comment appliquer la formule des probabilités totales sur un SCE dénombrable ? | MetMat

Comment appliquer la formule des probabilités totales sur un SCE dénombrable ?

En généralisant la formule du cas fini à une famille dénombrable $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ : $P(B)=\sum_{i=0}^{+\infty}P_{A_i}(B)P(A_i)$ (convergence admise)

Calculer la probabilité d'un événement $B$ en le conditionnant à un système complet d'événements dénombrable, en particulier aux événements $\{X=i\}$ pour une variable aléatoire discrète.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$ ; soit $X$ le rang d'apparition du premier $6$ . Puis on lance $X$ pièces équilibrées et on note $B$ l'événement « on obtient au moins un pile ». Calculer $P(B)$ .

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement $B$ en le conditionnant à un système complet d'événements dénombrable, en particulier aux événements $\{X=i\}$ pour une variable aléatoire discrète.

Le principe

Si $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ est un système complet d'événements (les $A_i$ sont deux à deux incompatibles, de probabilité non nulle et $\bigcup_i A_i=\Omega$ ) tel que pour tout $i$ $P(A_i)>0$ , alors pour tout événement $B$ : $P(B)=\sum_{i=0}^{+\infty}P_{A_i}(B)P(A_i)$ (série admise convergente). En particulier, si $X$ est une variable aléatoire discrète de support $X(\Omega)$ , la famille $(\{X=i\})_{i\in X(\Omega)}$ forme un SCE utilisable.

La méthode

1
Je choisis un système complet d'événements dénombrable $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ adapté au problème (typiquement $A_i=\{X=i\}$ avec $P(A_i)>0$ ), et je vérifie incompatibilité, probabilité non nulle, et réunion totale.
Comment montrer qu'une famille d'événements est un système complet d'événements ?Voir
2
Pour chaque $i$ , je calcule $P(A_i)$ et la probabilité conditionnelle $P_{A_i}(B)$ (modélisation : arbre, indépendance, loi conditionnelle).
Comment calculer une probabilité conditionnelle et utiliser la formule des probabilités composées ?Voir
3
J'applique $P(B)=\sum_{i=0}^{+\infty}P_{A_i}(B)P(A_i)$ en reconnaissant une série usuelle pour conclure.
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je choisis un système complet d'événements dénombrable

(A_i)_{i\in\mathbb{N}}

adapté au problème (typiquement

A_i=\{X=i\}

avec

P(A_i)>0

), et je vérifie incompatibilité, probabilité non nulle, et réunion totale.

$X\sim\mathcal{G}(1/6)$ a pour support $\mathbb{N}^*$ ; la famille $(A_i)_{i\ge 1}=(\{X=i\})_{i\ge 1}$ est un SCE dénombrable (incompatibles, union $\Omega$ , $P(X=i)=(5/6)^{i-1}(1/6)>0$ ).

Étape 2 —

Pour chaque

i

, je calcule

P(A_i)

et la probabilité conditionnelle

P_{A_i}(B)

(modélisation : arbre, indépendance, loi conditionnelle).

$P(X=i)=(5/6)^{i-1}(1/6)$ . Sachant $X=i$ , on lance $i$ pièces indépendantes, donc $P_{A_i}(B)=1-(1/2)^i$ (événement contraire : « que des faces »).

Étape 3 —

J'applique

P(B)=\sum_{i=0}^{+\infty}P_{A_i}(B)P(A_i)

en reconnaissant une série usuelle pour conclure.

$P(B)=\sum_{i=1}^{+\infty}\left(1-(1/2)^i\right)(5/6)^{i-1}(1/6)=1-\sum_{i=1}^{+\infty}(1/2)^i(5/6)^{i-1}(1/6)=1-\frac{1/2\cdot 1/6}{1-5/12}=1-\frac{1/12}{7/12}=\frac{6}{7}$ .

$P(B)=\frac{6}{7}$ .

Application guidée

Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ (avec $n\ge 1$ aléatoire suivant $\mathcal{P}(\lambda)$ ). On tire une boule au hasard dans l'urne. Soit $B$ : « tirer la boule numérotée $1$ » (sachant $n\ge 1$ ). Calculer $P(B)$ en conditionnant sur $N=n$ .

Application autonome 1

On lance une pièce équilibrée jusqu'au premier pile ; soit $N$ le rang du premier pile. On relance alors la pièce $N$ fois ; soit $B$ : « obtenir exactement $2$ piles ». Calculer $P(B)$ .

Application autonome 2

Une machine tombe en panne au jour $N$ , avec $N\sim\mathcal{G}(0{,}1)$ . Chaque jour actif, elle produit une pièce défectueuse avec probabilité $0{,}05$ , indépendamment. Soit $B$ : « la pièce du jour $N$ est défectueuse ». Calculer $P(B)$ .

Application autonome 3

On tire d'abord $N\sim\mathcal{G}(1/2)$ puis on effectue $N$ lancers indépendants d'une pièce équilibrée. Soit $B$ : « obtenir au moins un pile ». Calculer $P(B)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En généralisant la formule du cas fini à une famille dénombrable (Ai)i∈N(A_i)_{i\in\mathbb{N}}(Ai​)i∈N​ : P(B)=∑i=0+∞PAi(B)P(Ai)P(B)=\sum_{i=0}^{+\infty}P_{A_i}(B)P(A_i)P(B)=∑i=0+∞​PAi​​(B)P(Ai​) (convergence admise)

Pour comprendre, fais des exercices !

En généralisant la formule du cas fini à une famille dénombrable $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ : $P(B)=\sum_{i=0}^{+\infty}P_{A_i}(B)P(A_i)$ (convergence admise)