Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ? | MetMat

Comment déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète et vérifier que c'est bien une loi ?

En vérifiant que $P(X=x)\geq 0$ pour tout $x$ et que $\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)=1$

Vérifier qu'une famille de nombres $(p_x)_{x\in X(\Omega)}$ définit bien une loi de probabilité, ou déterminer un paramètre pour qu'elle le soit.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On pose $P(X=k)=\frac{a}{2^k}$ pour $k\in\mathbb{N}^*$ . Déterminer $a$ pour que cela définisse une loi.

L'objectif

Vérifier qu'une famille de nombres $(p_x)_{x\in X(\Omega)}$ définit bien une loi de probabilité, ou déterminer un paramètre pour qu'elle le soit.

Le principe

Une famille $(p_x)_{x\in E}$ indexée par un ensemble $E$ fini ou dénombrable définit une loi de probabilité discrète si et seulement si : (i) $p_x\ge 0$ pour tout $x\in E$ et (ii) $\sum_{x\in E} p_x = 1$ (avec convergence absolue si $E$ est infini).

La méthode

1
Je vérifie que $P(X=x)\ge 0$ pour tout $x\in X(\Omega)$ (positivité), ce qui peut imposer des contraintes sur un paramètre éventuel.
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Je calcule la somme $\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)$ en reconnaissant une série usuelle (géométrique, exponentielle, formule du binôme) si le support est infini.
Comment reconnaître et sommer une série géométrique, sa dérivée, ou la série exponentielle ?Voir
3
Je conclus : si la somme vaut $1$ , la famille définit bien une loi ; sinon je détermine le paramètre qui ajuste la normalisation.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On pose $P(X=k)=\frac{a}{2^k}$ pour $k\in\mathbb{N}^*$ . Déterminer $a$ pour que cela définisse une loi.

Étape 1 —

Je vérifie que

P(X=x)\ge 0

pour tout

x\in X(\Omega)

(positivité), ce qui peut imposer des contraintes sur un paramètre éventuel.

La positivité $\frac{a}{2^k}\ge 0$ pour tout $k\ge 1$ impose $a\ge 0$ .

Étape 2 —

Je calcule la somme

\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)

en reconnaissant une série usuelle (géométrique, exponentielle, formule du binôme) si le support est infini.

La somme est $\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{a}{2^k}=a\cdot\frac{1/2}{1-1/2}=a$ (série géométrique de raison $1/2$ ).

Étape 3 —

Je conclus : si la somme vaut

1

, la famille définit bien une loi ; sinon je détermine le paramètre qui ajuste la normalisation.

La condition $\sum p_k=1$ donne $a=1$ , valeur compatible avec la positivité ; la loi obtenue est $\mathcal{G}(1/2)$ .

$a=1$ .

Application guidée

On pose $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ pour $k\in\mathbb{N}$ avec $\lambda>0$ . Vérifier qu'il s'agit d'une loi.

Application autonome 1

On pose $P(X=k)=c\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $k\in\{0,\dots,n\}$ , $p\in[0,1]$ . Déterminer $c$ .

Application autonome 2

Pour $k\in\mathbb{N}^*$ , on pose $P(X=k)=\dfrac{b}{k(k+1)}$ . Déterminer $b$ pour que cela définisse une loi de probabilité.

Application autonome 3

Vérifier que $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ pour $k\in\mathbb{N}^*$ et $p\in ]0,1[$ définit une loi (loi géométrique).

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que P(X=x)≥0P(X=x)\geq 0P(X=x)≥0 pour tout xxx et que ∑x∈X(Ω)P(X=x)=1\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)=1∑x∈X(Ω)​P(X=x)=1

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $P(X=x)\geq 0$ pour tout $x$ et que $\sum_{x\in X(\Omega)} P(X=x)=1$