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Comment étudier une suite récurrente du type un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) ?

En appliquant l'inégalité des accroissements finis lorsque ∣f′∣≤k<1|f'|\leq k < 1 pour obtenir la convergence

L'objectif

Prouver la convergence d'une suite récurrente vers un point fixe ℓ\ell avec vitesse géométrique, même sans monotonie apparente.

Le principe

Si ff est dérivable sur un intervalle II stable par ff, contenant u0u_0 et un point fixe ℓ\ell de ff, et si ∣f′(x)∣≤k<1|f'(x)|\le k<1 sur II, alors l'inégalité des accroissements finis donne ∣f(x)−f(ℓ)∣≤k∣x−ℓ∣|f(x)-f(\ell)|\le k|x-\ell|, d'où par récurrence ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣→0|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell|\to 0 et un→ℓu_n\to\ell.

La méthode
  1. 1
    Je détermine un intervalle stable II contenant u0u_0 et un unique point fixe ℓ\ell de ff, puis je vérifie que ff est dérivable sur II.
  2. 2
    Je majore ∣f′(x)∣|f'(x)| sur II par une constante k<1k<1 (étude des variations de f′f' ou majoration directe), puis j'applique l'IAF : ∣un+1−ℓ∣=∣f(un)−f(ℓ)∣≤k∣un−ℓ∣|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\le k|u_n-\ell|.
    Voir
  3. 3
    Par récurrence ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell| ; comme 0≤k<10\le k<1, kn→0k^n\to 0, donc un→ℓu_n\to\ell.
    Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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