Comment étudier une suite récurrente du type $u_{n+1} = f(u_n)$ ? | MetMat

Comment étudier une suite récurrente du type $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

En appliquant l'inégalité des accroissements finis lorsque $|f'|\leq k < 1$ pour obtenir la convergence

Prouver la convergence d'une suite récurrente vers un point fixe $\ell$ avec vitesse géométrique, même sans monotonie apparente.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}$ et $u_0=1$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers $\sqrt{2}$ avec vitesse géométrique.

L'objectif

Prouver la convergence d'une suite récurrente vers un point fixe $\ell$ avec vitesse géométrique, même sans monotonie apparente.

Le principe

La méthode

1
Je détermine un intervalle stable $I$ contenant $u_0$ et un unique point fixe $\ell$ de $f$ , puis je vérifie que $f$ est dérivable sur $I$ .
2
Je majore $|f'(x)|$ sur $I$ par une constante $k<1$ (étude des variations de $f'$ ou majoration directe), puis j'applique l'IAF : $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\le k|u_n-\ell|$ .
Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?Voir
3
Par récurrence $|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell|$ ; comme $0\le k<1$ , $k^n\to 0$ , donc $u_n\to\ell$ .
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}$ et $u_0=1$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers $\sqrt{2}$ avec vitesse géométrique.

Étape 1 —

Je détermine un intervalle stable

I

contenant

u_0

et un unique point fixe

\ell

f

, puis je vérifie que

f

est dérivable sur

I

Sur $I=[1,2]$ stable, $f$ admet un unique point fixe $\ell$ tel que $\ell^2=2$ (en résolvant $\frac{\ell+2}{\ell+1}=\ell$ ), donc $\ell=\sqrt{2}$ . $f$ est dérivable sur $I$ .

Étape 2 —

Je majore

|f'(x)|

sur

I

par une constante

k<1

(étude des variations de

f'

ou majoration directe), puis j'applique l'IAF :

|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\le k|u_n-\ell|

$f'(x)=\dfrac{-1}{(x+1)^2}$ ; sur $[1,2]$ , $(x+1)^2\ge 4$ , donc $|f'(x)|\le \frac{1}{4}=k<1$ . Par l'IAF, $|u_{n+1}-\sqrt{2}|\le \frac{1}{4}|u_n-\sqrt{2}|$ .

Étape 3 —

Par récurrence

|u_n-\ell|\le k^n|u_0-\ell|

; comme

0\le k<1

k^n\to 0

, donc

u_n\to\ell

Par récurrence $|u_n-\sqrt{2}|\le \left(\frac{1}{4}\right)^n|1-\sqrt{2}|\to 0$ , donc $u_n\to\sqrt{2}$ .

$(u_n)$ converge vers $\sqrt{2}$ (vitesse géométrique de raison $\frac{1}{4}$ ).

Application guidée

Soit $f(x)=\dfrac{1}{2}\cos x+1$ et $u_0=0$ . Montrer que $(u_n)$ converge.

Application autonome 1

Soit $f(x)=\dfrac{1}{3}(x^2+1)$ et $u_0=\frac{1}{2}$ . Montrer la convergence vers un point fixe de $f$ .

Application autonome 2

Soit $f(x)=\dfrac{1}{3}(x^2+1)$ et $(u_n)$ définie par $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ . Montrer que $(u_n)$ converge et expliciter la vitesse de convergence.

Application autonome 3

Soit $f(x)=\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\pi}{2}$ et $u_0=2$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ . Montrer que $(u_n)$ converge.

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En appliquant l'inégalité des accroissements finis lorsque ∣f′∣≤k<1|f'|\leq k < 1∣f′∣≤k<1 pour obtenir la convergence

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant l'inégalité des accroissements finis lorsque $|f'|\leq k < 1$ pour obtenir la convergence