En invoquant le théorème de la limite monotone (suite croissante majorée converge)

Démontrer la convergence d'une suite définie par une relation implicite ou récurrente, puis identifier sa limite.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ .

L'objectif

Démontrer la convergence d'une suite définie par une relation implicite ou récurrente, puis identifier sa limite.

Le principe

Toute suite réelle croissante et majorée converge vers sa borne supérieure ; toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure. Si $(u_n)$ vérifie $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ continue et converge vers $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$ ( $\ell=f(\ell)$ ).

La méthode

1
Je montre par récurrence que $(u_n)$ est majorée (respectivement minorée) par une constante $M$ bien choisie.
Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?Voir
2
J'étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ (ou le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ si $u_n>0$ ) pour établir que $(u_n)$ est croissante (ou décroissante).
Comment étudier le sens de variation d'une suite ?Voir
3
Par le théorème de la limite monotone, $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ ; je détermine $\ell$ en passant à la limite dans la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ .

Étape 1 —

Je montre par récurrence que

(u_n)

est majorée (respectivement minorée) par une constante

M

bien choisie.

Je montre par récurrence que $0\le u_n\le 2$ : $u_0=1\in[0,2]$ , et si $u_n\in[0,2]$ alors $u_n+2\in[2,4]$ donc $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\in[\sqrt{2},2]\subset[0,2]$ .

Étape 2 —

J'étudie le signe de

u_{n+1}-u_n

(ou le quotient

\frac{u_{n+1}}{u_n}

u_n>0

) pour établir que

(u_n)

est croissante (ou décroissante).

$u_{n+1}^2-u_n^2=(u_n+2)-u_n^2=-(u_n-2)(u_n+1)\ge 0$ sur $[0,2]$ , et $u_n\ge 0$ , donc $u_{n+1}\ge u_n$ : $(u_n)$ est croissante.

Étape 3 —

Par le théorème de la limite monotone,

(u_n)

converge vers un réel

\ell

; je détermine

\ell

en passant à la limite dans la relation de récurrence

u_{n+1}=f(u_n)

Croissante et majorée par $2$ , elle converge vers $\ell\in[1,2]$ ; en passant à la limite dans $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ (fonction $\sqrt{\cdot+2}$ continue), $\ell=\sqrt{\ell+2}$ donc $\ell^2-\ell-2=0$ , soit $\ell=2$ (racine positive).

$(u_n)$ converge vers $\ell=2$ .

Application guidée

Étudier la suite $u_0=0$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}(u_n+3)$ .

Application autonome 1

Soit $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$ . Montrer que $(u_n)$ converge.

Application autonome 2

Étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\tfrac{u_n+4}{3}$ .

Application autonome 3

Soit $u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$ . Montrer que $(u_n)$ converge.

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