Comment montrer qu'une suite converge et déterminer sa limite ?

En invoquant le théorème de la limite monotone (suite croissante majorée converge)

L'objectif

Démontrer la convergence d'une suite définie par une relation implicite ou récurrente, puis identifier sa limite.

Le principe

Toute suite réelle croissante et majorée converge vers sa borne supérieure ; toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure. Si $(u_n)$ vérifie $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ continue et converge vers $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $f$ ( $\ell=f(\ell)$ ).

La méthode

1
Je montre par récurrence que $(u_n)$ est majorée (respectivement minorée) par une constante $M$ bien choisie.
Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?Voir
2
J'étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ (ou le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ si $u_n>0$ ) pour établir que $(u_n)$ est croissante (ou décroissante).
Comment étudier le sens de variation d'une suite ?Voir
3
Par le théorème de la limite monotone, $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ ; je détermine $\ell$ en passant à la limite dans la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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