Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ? | MetMat

Comment montrer qu'une suite est majorée, minorée ou bornée ?

En exhibant une constante $M$ et en la démontrant par récurrence

Démontrer qu'une suite définie par récurrence est majorée (ou minorée) par une constante $M$ via un raisonnement par récurrence.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ . Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\ 0\le u_n\le 2$ .

L'objectif

Démontrer qu'une suite définie par récurrence est majorée (ou minorée) par une constante $M$ via un raisonnement par récurrence.

Le principe

Pour une suite $(u_n)$ définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ , si $f$ laisse stable l'intervalle $(-\infty,M]$ (resp. $[m,+\infty)$ ) et $u_0\in(-\infty,M]$ (resp. $u_0\in[m,+\infty)$ ), alors par récurrence $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\le M$ (resp. $u_n\ge m$ ).

La méthode

1
Je pose la propriété $P(n):\ u_n\le M$ (ou $u_n\ge m$ , ou $m\le u_n\le M$ pour la bornitude), et je vérifie l'initialisation $P(0)$ à partir de $u_0$ .
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?Voir
2
Je suppose $P(n)$ vraie (hypothèse de récurrence) pour un $n$ fixé, puis je montre que $P(n+1)$ en est conséquence en exploitant la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ et la monotonie ou les inégalités sur $f$ .
3
Je conclus par le principe de récurrence : $\forall n\in\mathbb{N},\ P(n)$ , donc la suite est majorée (resp. minorée, bornée).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$ . Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\ 0\le u_n\le 2$ .

Étape 1 —

Je pose la propriété

P(n):\ u_n\le M

(ou

u_n\ge m

, ou

m\le u_n\le M

pour la bornitude), et je vérifie l'initialisation

P(0)

à partir de

u_0

Je pose $P(n):\ 0\le u_n\le 2$ . Initialisation : $u_0=0$ , donc $0\le u_0\le 2$ , $P(0)$ vraie.

Étape 2 —

Je suppose

P(n)

vraie (hypothèse de récurrence) pour un

n

fixé, puis je montre que

P(n+1)

en est conséquence en exploitant la relation

u_{n+1}=f(u_n)

et la monotonie ou les inégalités sur

f

Supposons $P(n)$ , i.e. $0\le u_n\le 2$ . Alors $2\le 2+u_n\le 4$ , et par croissance de la racine carrée sur $[0,+\infty[$ , $\sqrt{2}\le\sqrt{2+u_n}\le 2$ , soit $u_{n+1}\in[\sqrt{2},2]\subset[0,2]$ : $P(n+1)$ est vraie.

Étape 3 —

Je conclus par le principe de récurrence :

\forall n\in\mathbb{N},\ P(n)

, donc la suite est majorée (resp. minorée, bornée).

Par récurrence, $\forall n\in\mathbb{N},\ 0\le u_n\le 2$ . La suite $(u_n)$ est donc bornée.

$\forall n\in\mathbb{N},\ 0\le u_n\le 2$ .

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}+1$ . Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\le 2$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n}$ . Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\ge\sqrt{2}$ .

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=\tfrac{1}{2}$ et $\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=u_n^2+\tfrac{1}{4}$ . Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\ 0\le u_n\le 1$ .

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\ln(1+u_n)$ . Montrer que $\forall n\in\mathbb{N},\ u_n\ge 0$ .

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En exhibant une constante MMM et en la démontrant par récurrence

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant une constante $M$ et en la démontrant par récurrence