Comment simuler une loi usuelle en Python et estimer ses caractéristiques ? | MetMat

Comment simuler une loi usuelle en Python et estimer ses caractéristiques ?

En utilisant les fonctions `numpy.random.binomial`, `geometric`, `poisson`, `randint` pour générer un échantillon, puis `np.mean` et `np.var` pour estimer $E$ et $V$ empiriquement

Estimer numériquement l'espérance et la variance d'une loi discrète usuelle à partir d'un échantillon de grande taille simulé avec numpy.random.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X\sim\mathcal{B}(20,\,0{,}3)$ . Simuler $10\,000$ réalisations de $X$ et estimer $E(X)$ et $V(X)$ , puis comparer à $E(X)=np=6$ et $V(X)=np(1-p)=4{,}2$ .

L'objectif

Estimer numériquement l'espérance et la variance d'une loi discrète usuelle à partir d'un échantillon de grande taille simulé avec numpy.random.

Le principe

Si $X$ admet une espérance $E(X)$ et une variance $V(X)$ , alors pour un échantillon i.i.d. $(X_1,\dots,X_N)$ de même loi que $X$ , la loi (faible) des grands nombres donne $\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N X_k \xrightarrow[N\to+\infty]{} E(X)$ et $\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N (X_k-\bar X)^2 \xrightarrow[N\to+\infty]{} V(X)$ .

La méthode

1
J'identifie la loi à simuler et ses paramètres, puis je choisis la fonction numpy.random adaptée : binomial(n, p, N), geometric(p, N), poisson(lam, N) ou randint(a, b+1, N) pour la loi uniforme sur $[\![a,b]\!]$ .
2
Je génère un échantillon de grande taille $N$ (typiquement $10^4$ ou $10^5$ ) stocké dans un tableau numpy, puis je calcule np.mean(X) et np.var(X) pour estimer $E(X)$ et $V(X)$ .
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?Voir
3
Je compare les valeurs empiriques aux valeurs théoriques attendues pour valider le code (et j'affiche éventuellement un histogramme avec matplotlib.pyplot.hist).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X\sim\mathcal{B}(20,\,0{,}3)$ . Simuler $10\,000$ réalisations de $X$ et estimer $E(X)$ et $V(X)$ , puis comparer à $E(X)=np=6$ et $V(X)=np(1-p)=4{,}2$ .

Étape 1 —

J'identifie la loi à simuler et ses paramètres, puis je choisis la fonction numpy.random adaptée : binomial(n, p, N), geometric(p, N), poisson(lam, N) ou randint(a, b+1, N) pour la loi uniforme sur

[\![a,b]\!]

La loi est binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}3$ : j'utilise np.random.binomial(n, p, N).

Étape 2 —

Je génère un échantillon de grande taille

N

(typiquement

10^4

10^5

) stocké dans un tableau numpy, puis je calcule np.mean(X) et np.var(X) pour estimer

E(X)

V(X)

Je simule et j'estime espérance et variance empiriques.

import numpy as np
N = 10000
X = np.random.binomial(20, 0.3, N)
print(np.mean(X))  # ~6.0
print(np.var(X))   # ~4.2

Étape 3 —

Je compare les valeurs empiriques aux valeurs théoriques attendues pour valider le code (et j'affiche éventuellement un histogramme avec matplotlib.pyplot.hist).

Les valeurs empiriques (~ $6{,}0$ et ~ $4{,}2$ ) sont proches des valeurs théoriques $E(X)=np=6$ et $V(X)=np(1-p)=20\times 0{,}3\times 0{,}7=4{,}2$ , ce qui valide la simulation.

$\hat E\approx 6$ et $\hat V\approx 4{,}2$ , conformes à $E(X)=6$ et $V(X)=4{,}2$ .

Application guidée

Soit $X\sim\mathcal{G}(0{,}2)$ (loi géométrique de paramètre $p=0{,}2$ ). Estimer $E(X)$ par simulation et comparer à la valeur théorique $\frac{1}{p}=5$ .

Application autonome 1

Soit $X\sim\mathcal{P}(3)$ (loi de Poisson de paramètre $\lambda=3$ ). Simuler $10\,000$ valeurs et tracer l'histogramme pour visualiser la distribution.

Application autonome 2

Estimer la probabilité $P(X\ge 10)$ pour $X\sim\mathcal{B}(20,\,0{,}3)$ par simulation.

Application autonome 3

Soit $X\sim\mathcal{U}([\![1,6]\!])$ (dé équilibré). Simuler $10\,000$ lancers et estimer $P(X\ge 5)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant les fonctions numpy.random.binomial, geometric, poisson, randint pour générer un échantillon, puis np.mean et np.var pour estimer EEE et VVV empiriquement

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les fonctions `numpy.random.binomial`, `geometric`, `poisson`, `randint` pour générer un échantillon, puis `np.mean` et `np.var` pour estimer $E$ et $V$ empiriquement