Comment approcher numériquement la racine d'une équation $f(x)=0$ en Python ? | MetMat

Comment approcher numériquement la racine d'une équation $f(x)=0$ en Python ?

En implémentant une dichotomie : $a,b$ avec $f(a)f(b)<0$ , itérer jusqu'à précision $\varepsilon$

Approcher à une précision $\varepsilon$ près une racine d'une fonction continue $f$ sur $[a,b]$ avec $f(a)f(b)<0$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Approcher à $10^{-4}$ près la racine de $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0,1]$ .

L'objectif

Approcher à une précision $\varepsilon$ près une racine d'une fonction continue $f$ sur $[a,b]$ avec $f(a)f(b)<0$ .

Le principe

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b)<0$ , il existe $c\in[a,b]$ avec $f(c)=0$ ; en divisant par $2$ l'intervalle à chaque étape, on encadre $c$ avec une erreur inférieure à $(b-a)/2^n$ après $n$ itérations.

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $f$ continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b)<0$ (sinon la méthode ne s'applique pas).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Tant que b - a > eps, je calcule m = (a+b)/2 et $f(m)$ .
3
Si $f(a)f(m) \le 0$ , je pose b = m ; sinon a = m (la racine reste dans la moitié où le signe change).
4
Je renvoie (a+b)/2 comme valeur approchée, avec une erreur inférieure à $\varepsilon$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Approcher à $10^{-4}$ près la racine de $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0,1]$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

f

continue sur

[a,b]

f(a)f(b)<0

(sinon la méthode ne s'applique pas).

$f$ est polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ ; $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$ , donc $f(0)f(1)<0$ : il existe une racine dans $[0,1]$ .

Étape 2 —

Tant que b - a > eps, je calcule m = (a+b)/2 et

f(m)

On itère la dichotomie : $m_1 = 0{,}5$ , $f(0{,}5)=-0{,}375<0$ donc $a=0{,}5$ . Puis $m_2=0{,}75$ , $f(0{,}75)=0{,}172>0$ donc $b=0{,}75$ . On continue jusqu'à $b-a<10^{-4}$ .

Étape 3 —

f(a)f(m) \le 0

, je pose b = m ; sinon a = m (la racine reste dans la moitié où le signe change).

Au bout d'environ $\lceil\log_2(1/10^{-4})\rceil=14$ itérations, l'intervalle est plus petit que $10^{-4}$ .

Étape 4 —

Je renvoie (a+b)/2 comme valeur approchée, avec une erreur inférieure à

\varepsilon

La valeur renvoyée est $\approx 0{,}6823$ .

def dichotomie(f, a, b, eps):
    while b - a > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a + b) / 2

f = lambda x: x**3 + x - 1
print(dichotomie(f, 0, 1, 1e-4))  # ~0.6823

Racine approchée $\approx 0{,}6823$ , erreur $<10^{-4}$ .

Application guidée

Approcher à $10^{-3}$ près la racine de $f(x)=\cos(x)-x$ sur $[0,1]$ .

Application autonome 1

Approcher $\sqrt 2$ à $10^{-5}$ près comme racine de $f(x)=x^2-2$ sur $[1,2]$ .

Application autonome 2

Approcher à $10^{-4}$ près la racine de $f(x)=e^{x}-3$ sur $[0,2]$ par dichotomie.

Application autonome 3

Approcher à $10^{-3}$ près la racine positive de $f(x)=x-\sin(x)-0{,}5$ sur $[0,2]$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En implémentant une dichotomie : a,ba,ba,b avec f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0, itérer jusqu'à précision ε\varepsilonε

Pour comprendre, fais des exercices !

En implémentant une dichotomie : $a,b$ avec $f(a)f(b)<0$ , itérer jusqu'à précision $\varepsilon$