Comment calculer un coefficient binomial et exploiter les identités (symétrie, Pascal) ? | MetMat

Comment calculer un coefficient binomial et exploiter les identités (symétrie, Pascal) ?

En appliquant $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ ou la relation de Pascal $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$

Calculer la valeur exacte d'un coefficient binomial $\binom{n}{p}$ pour $0\le p\le n$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\binom{5}{2}$ .

L'objectif

Calculer la valeur exacte d'un coefficient binomial $\binom{n}{p}$ pour $0\le p\le n$ .

Le principe

Pour $n,p\in\mathbb{N}$ avec $0\le p\le n$ , $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ et $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$ (relation de Pascal), avec les valeurs particulières $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ et $\binom{n}{1}=n$ .

La méthode

1
Je vérifie que $0\le p\le n$ (sinon $\binom{n}{p}=0$ ) et je repère les valeurs immédiates $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$ , $\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$ .
2
Je choisis la méthode : formule factorielle si $p$ (ou $n-p$ ) est petit, ou relation de Pascal $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$ si je veux procéder par récurrence ou remplir un triangle de Pascal.
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?Voir
3
J'effectue le calcul en simplifiant par $(n-p)!$ au numérateur : $\binom{n}{p}=\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!}$ ( $p$ facteurs au numérateur), et je donne la valeur exacte.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\binom{5}{2}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

0\le p\le n

(sinon

\binom{n}{p}=0

) et je repère les valeurs immédiates

\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1

\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n

On a $0\le 2\le 5$ : le coefficient est bien défini, pas de valeur immédiate.

Étape 2 —

Je choisis la méthode : formule factorielle si

p

(ou

n-p

) est petit, ou relation de Pascal

\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}

si je veux procéder par récurrence ou remplir un triangle de Pascal.

J'utilise la formule factorielle car $p=2$ est petit : $\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\,3!}$ .

Étape 3 —

J'effectue le calcul en simplifiant par

(n-p)!

au numérateur :

\binom{n}{p}=\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!}

(

p

facteurs au numérateur), et je donne la valeur exacte.

$\binom{5}{2}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=\frac{20}{2}=10$ .

$\binom{5}{2}=10$ .

Application guidée

Calculer $\binom{10}{3}$ en utilisant la relation de Pascal à partir de $\binom{9}{2}=36$ et $\binom{9}{3}=84$ .

Application autonome 1

Démontrer la relation de Pascal $\binom{n+1}{p}=\binom{n}{p-1}+\binom{n}{p}$ pour $1\le p\le n$ .

Application autonome 2

Calculer $\binom{7}{3}$ .

Application autonome 3

Calculer $\binom{8}{5}$ en utilisant la formule factorielle.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant (np)=n!p!(n−p)!\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}(pn​)=p!(n−p)!n!​ ou la relation de Pascal (np)=(n−1p−1)+(n−1p)\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}(pn​)=(p−1n−1​)+(pn−1​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ ou la relation de Pascal $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$