Comment écrire un système sous forme matricielle $AX=Y$ et le résoudre ? | MetMat

Comment écrire un système sous forme matricielle $AX=Y$ et le résoudre ?

En identifiant la matrice $A$ , le vecteur colonne $X$ des inconnues et le second membre $Y$ , puis en résolvant par pivot ou via $A^{-1}$ lorsque $A$ est inversible

L'objectif

Résoudre un système linéaire via son écriture matricielle $AX=Y$ , soit par le pivot de Gauss, soit par calcul de $A^{-1}Y$ .

Le principe

Un système de $n$ équations à $p$ inconnues s'écrit $AX=Y$ avec $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ , $X\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})$ et $Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ ; si $A$ est carrée inversible, l'unique solution est $X=A^{-1}Y$ , sinon on résout par pivot de Gauss.

La méthode

1
Je mets le système sous forme standard et j'identifie $A$ (coefficients), $X$ (inconnues en colonne) et $Y$ (second membre en colonne), puis j'écris $AX=Y$ .
2
Je regarde si $A$ est carrée et inversible : si oui, je calcule $A^{-1}$ (par déterminant en dimension $2$ , par pivot sinon) et je pose $X=A^{-1}Y$ ; sinon, j'applique directement le pivot de Gauss sur le système.
Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?Voir
3
Je calcule le produit ou je termine le pivot pour obtenir les inconnues, puis je conclus en donnant l'ensemble des solutions.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir

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Application guidée 1

Résoudre, via l'écriture matricielle et $A^{-1}$ , le système $\begin{cases} 3x+2y=7 \\ x+4y=9 \end{cases}$ .

Application guidée 2

Résoudre le système $\begin{cases} x+y+z=6 \\ 2x-y+z=3 \\ x+2y-z=2 \end{cases}$ via l'écriture matricielle.

Application autonome 1

Résoudre $\begin{cases} x-y=1 \\ 2x+3y=8 \end{cases}$ via l'inverse de la matrice des coefficients.

Application autonome 2

Résoudre via l'écriture matricielle et $A^{-1}$ le système $\begin{cases} 2x+y=5 \\ x+3y=10 \end{cases}$ .

Application autonome 3

Résoudre via l'écriture matricielle le système $\begin{cases} x+2y-z=1 \\ 2x-y+z=3 \\ -x+y+2z=4 \end{cases}$ .

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En identifiant la matrice AAA, le vecteur colonne XXX des inconnues et le second membre YYY, puis en résolvant par pivot ou via A−1A^{-1}A−1 lorsque AAA est inversible

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En identifiant la matrice $A$ , le vecteur colonne $X$ des inconnues et le second membre $Y$ , puis en résolvant par pivot ou via $A^{-1}$ lorsque $A$ est inversible