Comment calculer le déterminant d'une matrice $2\times 2$ et en déduire son inversibilité ? | MetMat

Comment calculer le déterminant d'une matrice $2\times 2$ et en déduire son inversibilité ?

En appliquant $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$ puis en concluant $A$ inversible $\iff \det(A)\neq 0$

Décider si une matrice carrée d'ordre $2$ est inversible et donner son inverse explicite le cas échéant.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ . $A$ est-elle inversible ? Si oui, calculer $A^{-1}$ .

L'objectif

Décider si une matrice carrée d'ordre $2$ est inversible et donner son inverse explicite le cas échéant.

Le principe

Pour $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ , on définit $\det(A)=ad-bc$ ; alors $A$ est inversible si et seulement si $\det(A)\neq 0$ , et dans ce cas $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée d'ordre $2$ et j'identifie ses coefficients $a,b,c,d$ .
2
Je calcule $\det(A)=ad-bc$ et je discute selon les paramètres éventuels pour savoir si $\det(A)\neq 0$ .
3
Je conclus : si $\det(A)=0$ , $A$ n'est pas inversible ; sinon $A$ est inversible et $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .
Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A=\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$ . $A$ est-elle inversible ? Si oui, calculer $A^{-1}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est carrée d'ordre

2

et j'identifie ses coefficients

a,b,c,d

$A$ est carrée d'ordre $2$ avec $a=3,b=2,c=1,d=4$ .

Étape 2 —

Je calcule

\det(A)=ad-bc

et je discute selon les paramètres éventuels pour savoir si

\det(A)\neq 0

$\det(A)=3\cdot 4-2\cdot 1=12-2=10\neq 0$ .

Étape 3 —

Je conclus : si

\det(A)=0

A

n'est pas inversible ; sinon

A

est inversible et

A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

$A$ est inversible et $A^{-1}=\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ .

$A^{-1}=\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Étudier l'inversibilité de $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^{-1}$ .

Application autonome 2

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ l'inversibilité de $A_m=\begin{pmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix}$ et donner $A_m^{-1}$ lorsqu'il existe.

Application autonome 3

Étudier l'inversibilité et calculer l'inverse éventuel de $A=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant det⁡(abcd)=ad−bc\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bcdet(ac​bd​)=ad−bc puis en concluant AAA inversible ⟺ det⁡(A)≠0\iff \det(A)\neq 0⟺det(A)=0

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc$ puis en concluant $A$ inversible $\iff \det(A)\neq 0$