Comment calculer une intégrale « à vue » en reconnaissant une primitive ? | MetMat

Comment calculer une intégrale « à vue » en reconnaissant une primitive ?

En reconnaissant une primitive usuelle ou un schéma $u'(x)[u(x)]^\alpha$ (avec $\alpha\neq -1$ ) ou $u'(x)/u(x)$

Calculer directement une intégrale $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ en reconnaissant une primitive explicite de $f$ sur $[a,b]$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $I=\int_0^1 2x\,e^{x^2}\mathrm{d}x$ .

L'objectif

Calculer directement une intégrale $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t$ en reconnaissant une primitive explicite de $f$ sur $[a,b]$ .

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et admet une primitive $F$ sur cet intervalle, alors $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a)$ ; les schémas $u'e^u$ , $u'u^\alpha$ (avec $\alpha\neq -1$ ), $u'/u$ avec $u>0$ admettent respectivement pour primitives $e^u$ , $\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ , $\ln(u)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $[a,b]$ et je cherche à écrire $f(t)$ sous la forme d'une primitive usuelle ou d'un schéma $u'(t)[u(t)]^\alpha$ , $u'(t)/u(t)$ ou $u'(t)e^{u(t)}$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
J'écris une primitive $F$ de $f$ à partir du schéma reconnu, en ajustant la constante multiplicative si nécessaire.
3
Je calcule $\int_a^b f(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a)$ et je simplifie le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $I=\int_0^1 2x\,e^{x^2}\mathrm{d}x$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur

[a,b]

et je cherche à écrire

f(t)

sous la forme d'une primitive usuelle ou d'un schéma

u'(t)[u(t)]^\alpha

u'(t)/u(t)

u'(t)e^{u(t)}

La fonction $x\mapsto 2xe^{x^2}$ est continue sur $[0,1]$ et s'écrit $u'(x)e^{u(x)}$ avec $u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ .

Étape 2 —

J'écris une primitive

F

f

à partir du schéma reconnu, en ajustant la constante multiplicative si nécessaire.

Une primitive est $F(x)=e^{x^2}$ .

Étape 3 —

Je calcule

\int_a^b f(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a)

et je simplifie le résultat.

$I=F(1)-F(0)=e^1-e^0=e-1$ .

$I=e-1$ .

Application guidée

Calculer $J=\int_e^{e^2} \frac{1}{x\ln x}\mathrm{d}x$ .

Application autonome 1

Calculer $K=\int_0^1 (2x+1)(x^2+x+1)^3\mathrm{d}x$ .

Application autonome 2

Calculer $I=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{x}{x^2+1}\mathrm{d}x$ .

Application autonome 3

Calculer $J=\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\mathrm{d}x$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En reconnaissant une primitive usuelle ou un schéma u′(x)[u(x)]αu'(x)[u(x)]^\alphau′(x)[u(x)]α (avec α≠−1\alpha\neq -1α=−1) ou u′(x)/u(x)u'(x)/u(x)u′(x)/u(x)

Pour comprendre, fais des exercices !

En reconnaissant une primitive usuelle ou un schéma $u'(x)[u(x)]^\alpha$ (avec $\alpha\neq -1$ ) ou $u'(x)/u(x)$