Comment majorer ou minorer une intégrale ?

En utilisant l'inégalité triangulaire $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t$ (pour $a\leq b$ )

L'objectif

Majorer le module $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|$ lorsque $f$ change de signe ou lorsque l'expression exacte est difficile à estimer.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leq b$ , alors $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t$ ; on combine avec une majoration de $|f(t)|$ par une fonction plus simple $M(t)$ pour conclure.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $[a,b]$ avec $a\leq b$ , puis j'écris $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je majore $|f(t)|\leq M(t)$ sur $[a,b]$ par une fonction $M$ plus simple à intégrer (par exemple une constante majorant $|f|$ ).
3
Je calcule $\int_a^b M(t)\mathrm{d}t$ et je conclus $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b M(t)\mathrm{d}t$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

Exercices aujourd'hui0 / 3

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En utilisant l'inégalité triangulaire ∣∫abf(t)dt∣≤∫ab∣f(t)∣dt\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t​∫ab​f(t)dt​≤∫ab​∣f(t)∣dt (pour a≤ba\leq ba≤b)

Exemple corrigé

En utilisant l'inégalité triangulaire $\left|\int_a^b f(t)\mathrm{d}t\right|\leq\int_a^b|f(t)|\mathrm{d}t$ (pour $a\leq b$ )