Comment calculer une intégrale par changement de variable ? | MetMat

Comment calculer une intégrale par changement de variable ?

En posant $u=\varphi(t)$ avec $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone et en substituant $\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t$ (et les bornes)

Calculer une intégrale en effectuant un changement de variable $u=\varphi(t)$ qui simplifie l'intégrande.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $I=\int_0^1 \frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x$ (poser $u=e^x$ ).

L'objectif

Calculer une intégrale en effectuant un changement de variable $u=\varphi(t)$ qui simplifie l'intégrande.

Le principe

Si $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone sur $[a,b]$ et $f$ continue sur $\varphi([a,b])$ , alors $\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\mathrm{d}u$ ; on pose $u=\varphi(t)$ , $\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t$ et on change les bornes en conséquence.

La méthode

1
Je repère dans l'intégrande une expression $\varphi(t)$ accompagnée de $\varphi'(t)$ ou d'un facteur proportionnel, puis je pose $u=\varphi(t)$ en vérifiant que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone sur $[a,b]$ .
2
Je calcule $\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t$ , je transforme l'intégrande en une expression en $u$ uniquement, et je change les bornes : $t=a\Rightarrow u=\varphi(a)$ et $t=b\Rightarrow u=\varphi(b)$ .
3
Je calcule la nouvelle intégrale $\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g(u)\mathrm{d}u$ à vue ou par une autre technique, puis je conclus.
Comment calculer une intégrale « à vue » en reconnaissant une primitive ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $I=\int_0^1 \frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x$ (poser $u=e^x$ ).

Étape 1 —

Je repère dans l'intégrande une expression

\varphi(t)

accompagnée de

\varphi'(t)

ou d'un facteur proportionnel, puis je pose

u=\varphi(t)

en vérifiant que

\varphi

est de classe

\mathcal{C}^1

strictement monotone sur

[a,b]

L'intégrande est continue sur $[0,1]$ . Je pose $u=\varphi(x)=e^x$ , qui est $\mathcal{C}^1$ strictement croissante sur $[0,1]$ .

Étape 2 —

Je calcule

\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t

, je transforme l'intégrande en une expression en

u

uniquement, et je change les bornes :

t=a\Rightarrow u=\varphi(a)

t=b\Rightarrow u=\varphi(b)

$\mathrm{d}u=e^x\mathrm{d}x=u\,\mathrm{d}x$ donc $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{u}$ . Bornes : $x=0\Rightarrow u=1$ , $x=1\Rightarrow u=e$ . Donc $I=\int_1^e \frac{1}{1+u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{u}=\int_1^e \frac{\mathrm{d}u}{u(1+u)}$ .

Étape 3 —

Je calcule la nouvelle intégrale

\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} g(u)\mathrm{d}u

à vue ou par une autre technique, puis je conclus.

Décomposition : $\frac{1}{u(1+u)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u}$ . Donc $I=[\ln u-\ln(1+u)]_1^e=\left(1-\ln(1+e)\right)-\left(0-\ln 2\right)=1+\ln 2-\ln(1+e)$ .

$I=1+\ln 2-\ln(1+e)=1+\ln\dfrac{2}{1+e}$ .

Application guidée

Calculer $J=\int_0^{\pi/2} \frac{\sin t}{1+\cos^2 t}\mathrm{d}t$ (poser $u=\cos t$ ).

Application autonome 1

Calculer $K=\int_0^{\ln 2}\frac{e^x}{1+e^x}\mathrm{d}x$ .

Application autonome 2

Calculer $I=\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{\ln t}{t}\mathrm{d}t$ en posant $u=\ln t$ .

Application autonome 3

Calculer $J=\displaystyle\int_0^{1} t\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t$ en posant $u=1-t^2$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant u=φ(t)u=\varphi(t)u=φ(t) avec φ\varphiφ de classe C1\mathcal{C}^1C1 strictement monotone et en substituant du=φ′(t)dt\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}tdu=φ′(t)dt (et les bornes)

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $u=\varphi(t)$ avec $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone et en substituant $\mathrm{d}u=\varphi'(t)\mathrm{d}t$ (et les bornes)