En appliquant les opérations algébriques et les limites de référence

Calculer une limite par application directe des règles opératoires et des limites de référence des fonctions usuelles.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ .

L'objectif

Calculer une limite par application directe des règles opératoires et des limites de référence des fonctions usuelles.

Le principe

Si $\lim_{x\to a} u(x)=\ell_1$ et $\lim_{x\to a} v(x)=\ell_2$ (dans $\mathbb{R}$ ou aux bornes infinies), alors $\lim_{x\to a}(u+v)=\ell_1+\ell_2$ , $\lim(u\cdot v)=\ell_1\ell_2$ et $\lim(u/v)=\ell_1/\ell_2$ sous réserve que ces opérations soient définies (pas de forme indéterminée $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , $\infty/\infty$ , $0/0$ ) ; pour la composition, $\lim_{x\to a} f(u(x))=\lim_{y\to\ell_1} f(y)$ .

La méthode

1
J'identifie les limites de chaque bloc de l'expression en utilisant les limites usuelles ( $\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$ , $\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty$ , etc.).
2
J'applique les règles opératoires sur les limites (somme, produit, quotient, composition) en vérifiant à chaque étape l'absence de forme indéterminée.
3
Je combine les résultats pour conclure ; si une forme indéterminée apparaît, je dois changer de méthode (factorisation, croissances comparées).
Comment utiliser les croissances comparées pour lever une forme indéterminée ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ .

Étape 1 —

J'identifie les limites de chaque bloc de l'expression en utilisant les limites usuelles (

\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty

\lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty

, etc.).

En $x=2$ , le numérateur tend vers $0$ et le dénominateur vers $0$ : forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ . Je factorise : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .

Étape 2 —

J'applique les règles opératoires sur les limites (somme, produit, quotient, composition) en vérifiant à chaque étape l'absence de forme indéterminée.

On simplifie : $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$ pour $x\neq 2$ .

Étape 3 —

Je combine les résultats pour conclure ; si une forme indéterminée apparaît, je dois changer de méthode (factorisation, croissances comparées).

Par limite d'un polynôme, $\lim_{x\to 2}(x+2)=4$ .

$\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$ .

Application guidée

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x\to 0^+}(x\ln x+e^x)$ .

Application autonome 2

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{5x^3-2x+1}{2x^3+x^2-7}$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x^2-5x+6}$ .

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