En levant une forme indéterminée par factorisation ou croissances comparées

Lever une forme indéterminée en transformant l'expression pour faire apparaître une limite calculable.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}$ .

L'objectif

Lever une forme indéterminée en transformant l'expression pour faire apparaître une limite calculable.

Le principe

Face à une forme indéterminée, on transforme l'expression : factorisation par le terme dominant (polynômes, fractions rationnelles), multiplication par la quantité conjuguée (racines), ou utilisation des croissances comparées ( $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^\alpha}=0$ pour $\alpha>0$ , $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0$ pour $n\geq 0$ , $\lim_{x\to 0^+} x^\alpha\ln x=0$ pour $\alpha>0$ ).

La méthode

1
J'identifie la forme indéterminée en calculant les limites naïves ( $\infty-\infty$ , $0\times\infty$ , etc.).
2
Je choisis la technique adaptée : factorisation par le terme dominant pour les polynômes/fractions, quantité conjuguée pour les racines, croissances comparées pour les combinaisons polynôme/exp/log.
Comment utiliser les croissances comparées pour lever une forme indéterminée ?Voir
3
Je simplifie l'expression obtenue et je conclus par application des limites usuelles.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}$ .

Étape 1 —

J'identifie la forme indéterminée en calculant les limites naïves (

\infty-\infty

0\times\infty

, etc.).

En $+\infty$ , $x^2\to+\infty$ et $e^x\to+\infty$ : forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ .

Étape 2 —

Je choisis la technique adaptée : factorisation par le terme dominant pour les polynômes/fractions, quantité conjuguée pour les racines, croissances comparées pour les combinaisons polynôme/exp/log.

On applique la croissance comparée : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance).

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue et je conclus par application des limites usuelles.

Avec $n=2$ , on obtient $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=0$ .

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=0$ .

Application guidée

Calculer $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ .

Application autonome 2

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$ .

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