Comment utiliser les croissances comparées pour lever une forme indéterminée ? | MetMat

Comment utiliser les croissances comparées pour lever une forme indéterminée ?

En appliquant $\lim_{x\to +\infty}\frac{(\ln x)^b}{x^a}=0$ , $\lim_{x\to +\infty}\frac{x^a}{e^{bx}}=0$ ( $b>0$ ) et $\lim_{x\to 0^+}x^a|\ln x|^b=0$ ( $a>0$ )

Calculer une limite présentant une forme indéterminée entre logarithme, puissance ou exponentielle en invoquant les croissances comparées.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x\to +\infty} x^2 e^{-x}$ .

L'objectif

Calculer une limite présentant une forme indéterminée entre logarithme, puissance ou exponentielle en invoquant les croissances comparées.

Le principe

Pour tous $a>0$ et $b>0$ : $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\ln x)^b}{x^a}=0$ , $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^a}{e^{bx}}=0$ et $\lim_{x\to 0^+} x^a|\ln x|^b=0$ : « l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme ».

La méthode

1
Je repère la forme indéterminée et j'identifie les fonctions en présence (ln, puissance, exp).
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
2
Je réécris l'expression sous la forme canonique d'une des trois limites usuelles (par mise en facteur ou changement de variable adéquat), en précisant les valeurs de $a$ et $b$ .
3
J'applique la limite usuelle correspondante et je conclus, en explicitant éventuellement la composition avec l'opération inverse.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x\to +\infty} x^2 e^{-x}$ .

Étape 1 —

Je repère la forme indéterminée et j'identifie les fonctions en présence (ln, puissance, exp).

La forme est $+\infty\times 0$ , indéterminée ; j'ai une puissance $x^2$ et une exponentielle $e^{-x}$ .

Étape 2 —

Je réécris l'expression sous la forme canonique d'une des trois limites usuelles (par mise en facteur ou changement de variable adéquat), en précisant les valeurs de

a

b

Je réécris $x^2 e^{-x}=\dfrac{x^2}{e^x}$ , soit la forme $\dfrac{x^a}{e^{bx}}$ avec $a=2$ et $b=1>0$ .

Étape 3 —

J'applique la limite usuelle correspondante et je conclus, en explicitant éventuellement la composition avec l'opération inverse.

Par croissances comparées, $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{e^x}=0$ .

$\lim_{x\to +\infty} x^2 e^{-x}=0$ .

Application guidée

Calculer $\lim_{x\to 0^+} x\ln x$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\ln x)^3}{\sqrt{x}}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x\to +\infty} (x-\ln x)$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^5+\ln x}$ .

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