Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

En vérifiant la définition $\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$ ou en prolongeant $f$ par continuité

Étudier la continuité d'une fonction en un point par la définition ou définir son prolongement par continuité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ admet un prolongement par continuité en $0$ .

L'objectif

Étudier la continuité d'une fonction en un point par la définition ou définir son prolongement par continuité.

Le principe

$f$ est continue en $x_0$ si $f$ est définie en $x_0$ et $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ ; si $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais $\ell=\lim_{x\to x_0} f(x)$ existe (finie), on prolonge $f$ en posant $\widetilde{f}(x_0)=\ell$ , et $\widetilde{f}$ est continue en $x_0$ .

La méthode

1
Je précise la valeur $f(x_0)$ si elle existe, et je calcule $\lim_{x\to x_0} f(x)$ (éventuellement en distinguant les limites à gauche et à droite).
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
2
Je compare cette limite à $f(x_0)$ : si elle est égale à $f(x_0)$ , $f$ est continue en $x_0$ ; si la limite $\ell$ existe finie mais $f$ n'est pas définie en $x_0$ , je pose $\widetilde{f}(x_0)=\ell$ .
3
Je conclus sur la continuité (ou l'existence d'un prolongement par continuité), en explicitant la fonction prolongée si besoin.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ admet un prolongement par continuité en $0$ .

Étape 1 —

Je précise la valeur

f(x_0)

si elle existe, et je calcule

\lim_{x\to x_0} f(x)

(éventuellement en distinguant les limites à gauche et à droite).

$f$ est définie sur $\mathbb{R}^*$ mais pas en $0$ . On sait que $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (limite usuelle).

Étape 2 —

Je compare cette limite à

f(x_0)

: si elle est égale à

f(x_0)

f

est continue en

x_0

; si la limite

\ell

existe finie mais

f

n'est pas définie en

x_0

, je pose

\widetilde{f}(x_0)=\ell

La limite en $0$ existe et vaut $1$ ; comme $f$ n'est pas définie en $0$ , je pose $\widetilde{f}(0)=1$ et $\widetilde{f}(x)=f(x)$ sinon.

Étape 3 —

Je conclus sur la continuité (ou l'existence d'un prolongement par continuité), en explicitant la fonction prolongée si besoin.

$\widetilde{f}$ est alors continue sur $\mathbb{R}$ tout entier.

Prolongement : $\widetilde{f}(0)=1$ , $\widetilde{f}$ continue sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que $f(x)=x\ln x$ admet un prolongement par continuité en $0$ .

Application autonome 1

Étudier la continuité en $0$ de $f$ définie par $f(x)=\dfrac{e^x-1}{x}$ pour $x\neq 0$ et $f(0)=1$ .

Application autonome 2

Étudier l'existence d'un prolongement par continuité en $0$ de la fonction $f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ , définie pour $x\in]-1,0[\cup]0,+\infty[$ .

Application autonome 3

Étudier la continuité en $0$ de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\begin{cases} \dfrac{1-\cos x}{x^2} & \text{si } x\neq 0 \\ \dfrac{1}{2} & \text{si } x=0\end{cases}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant la définition lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​) ou en prolongeant fff par continuité

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant la définition $\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$ ou en prolongeant $f$ par continuité