Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

En vérifiant la définition $\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$ ou en prolongeant $f$ par continuité

L'objectif

Étudier la continuité d'une fonction en un point par la définition ou définir son prolongement par continuité.

Le principe

$f$ est continue en $x_0$ si $f$ est définie en $x_0$ et $\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ ; si $f$ n'est pas définie en $x_0$ mais $\ell=\lim_{x\to x_0} f(x)$ existe (finie), on prolonge $f$ en posant $\widetilde{f}(x_0)=\ell$ , et $\widetilde{f}$ est continue en $x_0$ .

La méthode

1
Je précise la valeur $f(x_0)$ si elle existe, et je calcule $\lim_{x\to x_0} f(x)$ (éventuellement en distinguant les limites à gauche et à droite).
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
2
Je compare cette limite à $f(x_0)$ : si elle est égale à $f(x_0)$ , $f$ est continue en $x_0$ ; si la limite $\ell$ existe finie mais $f$ n'est pas définie en $x_0$ , je pose $\widetilde{f}(x_0)=\ell$ .
3
Je conclus sur la continuité (ou l'existence d'un prolongement par continuité), en explicitant la fonction prolongée si besoin.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant la définition lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​) ou en prolongeant fff par continuité

Exemple corrigé

En vérifiant la définition $\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$ ou en prolongeant $f$ par continuité