Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ? | MetMat

Comment utiliser l'inégalité des accroissements finis ?

En prouvant la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $|f'|\leq k<1$ (suite contractante)

Montrer qu'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers le point fixe $\ell$ de $f$ en utilisant l'IAF.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_0\in[0,1]$ et $u_{n+1}=\cos u_n$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers l'unique point fixe $\ell$ de $\cos$ sur $[0,1]$ .

L'objectif

Montrer qu'une suite $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers le point fixe $\ell$ de $f$ en utilisant l'IAF.

Le principe

Si $f$ est dérivable sur un intervalle stable $I$ , admet un point fixe $\ell\in I$ et vérifie $|f'(x)|\leq k<1$ pour tout $x\in I$ , alors toute suite $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0\in I$ vérifie $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$ , donc $u_n\to\ell$ .

La méthode

1
Je vérifie que l'intervalle $I$ est stable par $f$ (si $x\in I$ , alors $f(x)\in I$ ) et j'identifie le point fixe $\ell$ en résolvant $f(\ell)=\ell$ .
2
Je calcule $f'$ et je détermine $k<1$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour tout $x\in I$ ; par IAF, $|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
3
Par récurrence, $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$ ; comme $0\leq k<1$ , $k^n\to 0$ et par encadrement $u_n\to\ell$ .
Comment démontrer une propriété dépendant d'un entier par récurrence ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $u_0\in[0,1]$ et $u_{n+1}=\cos u_n$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers l'unique point fixe $\ell$ de $\cos$ sur $[0,1]$ .

Étape 1 —

Je vérifie que l'intervalle

I

est stable par

f

(si

x\in I

, alors

f(x)\in I

) et j'identifie le point fixe

\ell

en résolvant

f(\ell)=\ell

$f=\cos$ envoie $[0,1]$ dans $[\cos 1,1]\subset[0,1]$ donc $[0,1]$ est stable. L'équation $\cos x=x$ admet une unique solution $\ell\in[0,1]$ (point fixe de $\cos$ ).

Étape 2 —

Je calcule

f'

et je détermine

k<1

tel que

|f'(x)|\leq k

pour tout

x\in I

; par IAF,

|u_{n+1}-\ell|=|f(u_n)-f(\ell)|\leq k|u_n-\ell|

$f'(x)=-\sin x$ et pour $x\in[0,1]$ , $|\sin x|\leq\sin 1<1$ . On pose $k=\sin 1\approx 0{,}841<1$ ; par IAF, $|u_{n+1}-\ell|\leq k|u_n-\ell|$ .

Étape 3 —

Par récurrence,

|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|

; comme

0\leq k<1

k^n\to 0

et par encadrement

u_n\to\ell

Par récurrence, $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|\xrightarrow[n\to+\infty]{}0$ puisque $k<1$ , donc $u_n\to\ell$ .

$(u_n)$ converge vers le point fixe $\ell\approx 0{,}739$ de $\cos$ .

Application guidée

Soit $f\colon x\mapsto\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$ et $u_0=2$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers $\sqrt{2}$ .

Application autonome 1

Soit $u_0\in[0,\tfrac{1}{2}]$ et $u_{n+1}=\frac{1}{3}(u_n^2+1)$ . Montrer que $(u_n)$ converge.

Application autonome 2

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n+3}{u_n+1}$ . Montrer que $(u_n)$ converge vers $\sqrt{3}$ .

Application autonome 3

Soit $f(x)=\dfrac{1}{4}(x^2+4)$ et $u_0=0$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ . Montrer que $(u_n)$ converge et identifier la limite.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En prouvant la convergence d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1​=f(un​) avec ∣f′∣≤k<1|f'|\leq k<1∣f′∣≤k<1 (suite contractante)

Pour comprendre, fais des exercices !

En prouvant la convergence d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $|f'|\leq k<1$ (suite contractante)