Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle ? | MetMat

Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle ?

En calculant la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x\to x_0$

L'objectif

Déterminer si $f$ est dérivable en un point $x_0$ et, le cas échéant, calculer $f'(x_0)$ .

Le principe

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $x_0$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est finie ; cette limite, notée $f'(x_0)$ , est alors le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est bien définie sur un intervalle contenant $x_0$ et j'écris le taux d'accroissement $\tau(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ pour $x\neq x_0$ .
2
Je calcule la limite de $\tau(x)$ lorsque $x\to x_0$ , éventuellement en simplifiant l'expression (factorisation, quantité conjuguée).
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
3
Je conclus : si la limite existe et est finie, $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)$ vaut cette limite ; sinon $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ .

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Application guidée 1

Montrer que $f(x)=x^2$ est dérivable en $x_0=1$ et calculer $f'(1)$ .

Application guidée 2

Étudier la dérivabilité de $f(x)=|x|$ en $x_0=0$ .

Application autonome 1

Montrer que $f(x)=\sqrt{x}$ est dérivable en $x_0=4$ et calculer $f'(4)$ .

Application autonome 2

Montrer que $f(x)=x^3$ est dérivable en $x_0=2$ et calculer $f'(2)$ .

Application autonome 3

Étudier la dérivabilité en $0$ de $f(x)=x|x|$ et donner $f'(0)$ si elle existe.

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En calculant la limite du taux d'accroissement f(x)−f(x0)x−x0\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}x−x0​f(x)−f(x0​)​ lorsque x→x0x\to x_0x→x0​

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En calculant la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x\to x_0$