En étudiant le signe du polynôme via le discriminant et tableau de signes

Résoudre une inéquation du second degré en déterminant le signe du trinôme sur chaque intervalle.

L'objectif

Résoudre une inéquation du second degré en déterminant le signe du trinôme sur chaque intervalle.

Le principe

Le signe d'un trinôme $ax^2 + bx + c$ est du signe de $a$ sauf entre les racines (quand elles existent).

La méthode

1
Mettre l'inéquation sous la forme $ax^2 + bx + c \geq 0$ (ou $\leq 0$ , $> 0$ , $< 0$ ) et identifier $a$ , $b$ , $c$ .
2
Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ et déterminer les racines éventuelles.
3
Dresser le tableau de signes du trinôme : du signe de $a$ partout si $\Delta < 0$ ; s'annule et change de signe aux racines si $\Delta > 0$ ; s'annule sans changer de signe si $\Delta = 0$ .
Comment étudier le signe d'un polynôme du second degré ?Voir
4
Lire les intervalles solutions sur le tableau de signes selon l'inéquation demandée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $x^2 - x - 6 \leq 0$ .

Étape 1 —

Mettre l'inéquation sous la forme

ax^2 + bx + c \geq 0

(ou

\leq 0

> 0

< 0

) et identifier

a

b

c

L'inéquation est déjà sous la bonne forme. On a $a = 1$ , $b = -1$ , $c = -6$ .

Étape 2 —

Calculer

\Delta = b^2 - 4ac

et déterminer les racines éventuelles.

$\Delta = 1 + 24 = 25 > 0$ . Les racines sont $x_1 = \dfrac{1-5}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{1+5}{2} = 3$ .

Étape 3 —

Dresser le tableau de signes du trinôme : du signe de

a

partout si

\Delta < 0

; s'annule et change de signe aux racines si

\Delta > 0

; s'annule sans changer de signe si

\Delta = 0

$a = 1 > 0$ donc le trinôme est négatif entre les racines : négatif sur $]-2\,; 3[$ et positif à l'extérieur.

Étape 4 —

Lire les intervalles solutions sur le tableau de signes selon l'inéquation demandée.

On cherche $\leq 0$ : l'ensemble solution est $[-2\,; 3]$ .

$S = [-2\,; 3]$

Application guidée

Résoudre $-2x^2 + 3x - 4 > 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $2x^2 - 8x + 6 \geq 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $x^2 + 4x + 4 < 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $3x^2 + 2x - 1 > 0$ .

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