En exploitant les racines connues : $a(x-x_1)(x-x_2)$ et un point

Déterminer l'expression d'un polynôme du second degré dont on connaît les deux racines et un point de la courbe.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer le polynôme du second degré $P$ tel que $P(-1) = 0$ , $P(3) = 0$ et $P(0) = 6$ .

L'objectif

Déterminer l'expression d'un polynôme du second degré dont on connaît les deux racines et un point de la courbe.

Le principe

Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $P$ , alors $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ; le coefficient $a$ se déduit d'une condition supplémentaire.

La méthode

1
Écrire la forme factorisée : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec les racines $x_1$ et $x_2$ données.
Comment factoriser un polynôme du second degré ?Voir
2
Utiliser la condition supplémentaire (un point $P(x_0) = y_0$ ) pour calculer la valeur de $a$ .
3
Écrire l'expression finale de $P(x)$ et, si demandé, la développer.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer le polynôme du second degré $P$ tel que $P(-1) = 0$ , $P(3) = 0$ et $P(0) = 6$ .

Étape 1 —

Écrire la forme factorisée :

P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

avec les racines

x_1

x_2

données.

Les racines sont $-1$ et $3$ , donc $P(x) = a(x + 1)(x - 3)$ .

Étape 2 —

Utiliser la condition supplémentaire (un point

P(x_0) = y_0

) pour calculer la valeur de

a

$P(0) = a(0+1)(0-3) = -3a = 6$ , d'où $a = -2$ .

Étape 3 —

Écrire l'expression finale de

P(x)

et, si demandé, la développer.

$P(x) = -2(x+1)(x-3) = -2x^2 + 4x + 6$ .

$P(x) = -2(x+1)(x-3) = -2x^2 + 4x + 6$

Application guidée

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ s'annulant en $1$ et $5$ , et tel que $P(2) = -9$ .

Application autonome 1

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ admettant $0$ et $4$ comme racines et passant par le point $(1\,; -6)$ .

Application autonome 2

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ admettant $-2$ et $3$ pour racines et tel que $P(1) = -6$ .

Application autonome 3

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ s'annulant en $-3$ et $2$ , et tel que $P(0) = 12$ .

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