En exploitant les racines connues : $a(x-x_1)(x-x_2)$ et un point

Déterminer l'expression d'un polynôme du second degré dont on connaît les deux racines et un point de la courbe.

L'objectif

Déterminer l'expression d'un polynôme du second degré dont on connaît les deux racines et un point de la courbe.

Le principe

Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $P$ , alors $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ ; le coefficient $a$ se déduit d'une condition supplémentaire.

La méthode

1
Écrire la forme factorisée : $P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec les racines $x_1$ et $x_2$ données.
Comment factoriser un polynôme du second degré ?Voir
2
Utiliser la condition supplémentaire (un point $P(x_0) = y_0$ ) pour calculer la valeur de $a$ .
3
Écrire l'expression finale de $P(x)$ et, si demandé, la développer.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer le polynôme du second degré $P$ tel que $P(-1) = 0$ , $P(3) = 0$ et $P(0) = 6$ .

Étape 1 —

Écrire la forme factorisée :

P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

avec les racines

x_1

x_2

données.

Les racines sont $-1$ et $3$ , donc $P(x) = a(x + 1)(x - 3)$ .

Étape 2 —

Utiliser la condition supplémentaire (un point

P(x_0) = y_0

) pour calculer la valeur de

a

$P(0) = a(0+1)(0-3) = -3a = 6$ , d'où $a = -2$ .

Étape 3 —

Écrire l'expression finale de

P(x)

et, si demandé, la développer.

$P(x) = -2(x+1)(x-3) = -2x^2 + 4x + 6$ .

$P(x) = -2(x+1)(x-3) = -2x^2 + 4x + 6$

Application guidée

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ s'annulant en $1$ et $5$ , et tel que $P(2) = -9$ .

Application autonome 1

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ admettant $0$ et $4$ comme racines et passant par le point $(1\,; -6)$ .

Application autonome 2

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ admettant $-2$ et $3$ pour racines et tel que $P(1) = -6$ .

Application autonome 3

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ s'annulant en $-3$ et $2$ , et tel que $P(0) = 12$ .

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