En étudiant la position relative d'une droite et d'un cercle

Déterminer la position relative d'une droite par rapport à un cercle.

L'objectif

Déterminer la position relative d'une droite par rapport à un cercle.

Le principe

On compare la distance du centre du cercle à la droite avec le rayon : si $d(\Omega, d) < R$ sécante, si $d(\Omega, d) = R$ tangente, si $d(\Omega, d) > R$ extérieure.

La méthode

1
J'identifie le centre $\Omega(a ; b)$ et le rayon $R$ du cercle, et l'équation $d : \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ .
2
Je calcule $d(\Omega, d) = \dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}$ .
Comment déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?Voir
3
Je compare $d(\Omega, d)$ à $R$ et je conclus : sécante ( $d < R$ ), tangente ( $d = R$ ) ou extérieure ( $d > R$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer la position de la droite $d : 3x + 4y - 10 = 0$ par rapport au cercle de centre $\Omega(2 ; 1)$ et de rayon $3$ .

Étape 1 —

J'identifie le centre

\Omega(a ; b)

et le rayon

R

du cercle, et l'équation

d : \alpha x + \beta y + \gamma = 0

$\Omega(2 ; 1)$ , $R = 3$ , $d : 3x + 4y - 10 = 0$ .

Étape 2 —

Je calcule

d(\Omega, d) = \dfrac{|\alpha a + \beta b + \gamma|}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}

$d(\Omega, d) = \dfrac{|3 \times 2 + 4 \times 1 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|6 + 4 - 10|}{5} = \dfrac{0}{5} = 0$ .

Étape 3 —

Je compare

d(\Omega, d)

R

et je conclus : sécante (

d < R

), tangente (

d = R

) ou extérieure (

d > R

$d(\Omega, d) = 0 < R = 3$ : la droite passe par le centre, elle est sécante au cercle.

La droite est sécante au cercle (elle passe par le centre)

Application guidée

Déterminer la position de la droite $d : x - y + 5 = 0$ par rapport au cercle $\mathcal{C} : x^2 + y^2 = 9$ .

Application autonome 1

Déterminer la position de la droite $d : 4x - 3y + 10 = 0$ par rapport au cercle de centre $\Omega(1 ; 2)$ et de rayon $2$ .

Application autonome 2

Déterminer la position de la droite $d : 3x + 4y - 15 = 0$ par rapport au cercle de centre $\Omega(0 ; 0)$ et de rayon $3$ .

Application autonome 3

Déterminer la position de la droite $d : x + y - 7 = 0$ par rapport au cercle de centre $\Omega(2\,;3)$ et de rayon $3$ .

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