Comment décrire la position relative de deux droites dans l'espace (parallèles, sécantes, gauches) ? | MetMat

Comment décrire la position relative de deux droites dans l'espace (parallèles, sécantes, gauches) ?

En vérifiant si les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles ou confondues), sinon en cherchant un éventuel point d'intersection (sécantes ou gauches)

Déterminer la position relative de deux droites de l'espace en étudiant leurs vecteurs directeurs puis en cherchant un éventuel point d'intersection.

L'objectif

Déterminer la position relative de deux droites de l'espace en étudiant leurs vecteurs directeurs puis en cherchant un éventuel point d'intersection.

Le principe

Si les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles (ou confondues) ; sinon, elles sont sécantes si un point d'intersection existe, gauches dans le cas contraire.

La méthode

1
Je détermine un point et un vecteur directeur pour chaque droite : $d_1$ passe par $A$ avec vecteur $\vec{u}$ , et $d_2$ passe par $B$ avec vecteur $\vec{v}$ .
2
Je teste si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Si oui, les droites sont parallèles : je vérifie ensuite si $\vec{AB}$ est aussi colinéaire à $\vec{u}$ (confondues si oui, strictement parallèles sinon).
Comment vérifier si des vecteurs sont colinéaires ?Voir
3
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, je cherche un point d'intersection en posant $A + t\vec{u} = B + s\vec{v}$ et en résolvant le système obtenu par identification des coordonnées.
4
Si le système est compatible, les droites sont sécantes (je donne le point d'intersection) ; si incompatible, les droites sont gauches.

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Exercice d'exemple

Les droites $d_1 : A(1,0,0) + t(1,1,0)$ et $d_2 : B(0,1,0) + s(2,2,0)$ . Quelle est leur position relative ?

Étape 1 —

Je détermine un point et un vecteur directeur pour chaque droite :

d_1

passe par

A

avec vecteur

\vec{u}

, et

d_2

passe par

B

avec vecteur

\vec{v}

$A = (1,0,0)$ , $\vec{u} = (1,1,0)$ et $B = (0,1,0)$ , $\vec{v} = (2,2,0)$ .

Étape 2 —

Je teste si

\vec{u}

\vec{v}

sont colinéaires. Si oui, les droites sont parallèles : je vérifie ensuite si

\vec{AB}

est aussi colinéaire à

\vec{u}

(confondues si oui, strictement parallèles sinon).

$\vec{v} = 2\vec{u}$ : les vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles (ou confondues). Je teste $\vec{AB} = (-1,1,0)$ : $(-1,1,0) = \lambda(1,1,0) \Rightarrow -1 = \lambda$ et $1 = \lambda$ : contradiction. Donc $\vec{AB}$ n'est pas colinéaire à $\vec{u}$ .

Étape 3 —

\vec{u}

\vec{v}

ne sont pas colinéaires, je cherche un point d'intersection en posant

A + t\vec{u} = B + s\vec{v}

et en résolvant le système obtenu par identification des coordonnées.

Pas d'intersection à chercher puisque les droites sont parallèles strictes.

Étape 4 —

Si le système est compatible, les droites sont sécantes (je donne le point d'intersection) ; si incompatible, les droites sont gauches.

Les droites sont strictement parallèles (non confondues).

$d_1$ et $d_2$ sont strictement parallèles.

Application guidée

Les droites $d_1$ passant par $A(0,0,0)$ de vecteur $\vec{u} = (1,0,1)$ et $d_2$ passant par $B(1,1,0)$ de vecteur $\vec{v} = (0,1,1)$ . Quelle est leur position relative ?

Application autonome 1

Les droites $d_1$ passant par $A(1,1,1)$ de vecteur $\vec{u} = (1,0,-1)$ et $d_2$ passant par $B(2,3,0)$ de vecteur $\vec{v} = (1,2,1)$ . Quelle est leur position relative ?

Application autonome 2

Les droites $d_1$ passant par $A(0,0,0)$ de vecteur $\vec{u} = (1,1,0)$ et $d_2$ passant par $B(1,0,1)$ de vecteur $\vec{v} = (0,1,-1)$ . Quelle est leur position relative ?

Application autonome 3

Les droites $d_1 : (x, y, z) = (1, 0, 2) + t(2, -1, 1)$ et $d_2 : (x, y, z) = (0, 3, 0) + s(4, -2, 2)$ . Quelle est leur position relative ?

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