Comment décrire la position relative d'une droite et d'un plan ?

En vérifiant si le vecteur directeur de la droite est dans la direction du plan (droite parallèle ou incluse), sinon en cherchant l'intersection (droite sécante)

L'objectif

Déterminer si une droite est parallèle, incluse dans, ou sécante à un plan, et trouver le point d'intersection le cas échéant.

Le principe

La droite est parallèle au plan (ou incluse) si et seulement si son vecteur directeur est combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan ; sinon, elle est sécante au plan.

La méthode

1
Je dispose de la droite (point $A$ , vecteur directeur $\vec{u}$ ) et du plan (point $P$ , vecteurs $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ ) ou équation cartésienne $ax + by + cz = d$ .
2
Je teste si $\vec{u}$ est combinaison linéaire de $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ (ou si $\vec{u}$ vérifie $a u_x + b u_y + c u_z = 0$ ). Si oui, la droite est parallèle au plan ou incluse dedans.
3
Si la droite est parallèle au plan, je vérifie si le point $A$ appartient au plan pour distinguer droite incluse (oui) de droite strictement parallèle (non).
4
Si $\vec{u}$ n'est pas dans la direction du plan, la droite est sécante : je substitue la paramétrisation $A + t\vec{u}$ dans l'équation du plan pour trouver $t$ , puis le point d'intersection.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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