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Comment décomposer un vecteur dans une base donnée ?

En résolvant le système w⃗=xe1⃗+ye2⃗+ze3⃗\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3} par identification des coordonnées

L'objectif

Trouver les coordonnées (x,y,z)(x, y, z) d'un vecteur w⃗\vec{w} dans une base (e1⃗,e2⃗,e3⃗)( \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} ) en résolvant le système issu de l'identification.

Le principe

Dans une base, tout vecteur admet une unique décomposition ; l'identification coordonnée par coordonnée fournit un système de Cramer (déterminant non nul si la base est bien une base).

La méthode
  1. 1
    Je pose w⃗=xe1⃗+ye2⃗+ze3⃗\vec{w} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} + z\vec{e_3} et j'écris les coordonnées de chaque vecteur dans le repère canonique.
  2. 2
    J'identifie les coordonnées : j'obtiens un système de 3 équations à 3 inconnues xx, yy, zz.
  3. 3
    Je résous le système par la méthode du pivot (ou substitution) en cherchant à éliminer les inconnues une à une.
  4. 4
    Je vérifie la solution dans chaque équation, puis je conclue en écrivant les coordonnées de w⃗\vec{w} dans la base.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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