En montrant que $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour la coplanarité de A, B, C, D

Déterminer si quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires en testant si $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

L'objectif

Déterminer si quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires en testant si $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

Le principe

Quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires si et seulement si $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (en supposant $A$ , $B$ , $C$ non alignés).

La méthode

1
Je calcule les coordonnées de $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ .
2
Je pose $\vec{AD} = \alpha\vec{AB} + \beta\vec{AC}$ et j'identifie les coordonnées pour obtenir un système de 3 équations à 2 inconnues $\alpha$ et $\beta$ .
Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?Voir
3
Je résous le système avec les deux premières équations, puis je vérifie si les valeurs trouvées satisfont la troisième.
4
Si le système est compatible, les quatre points sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Les points $A(1,0,0)$ , $B(0,1,0)$ , $C(0,0,1)$ et $D(1,1,1)$ sont-ils coplanaires ?

Étape 1 —

Je calcule les coordonnées de

\vec{AB}

\vec{AC}

\vec{AD}

$\vec{AB} = (-1,1,0)$ , $\vec{AC} = (-1,0,1)$ , $\vec{AD} = (0,1,1)$ .

Étape 2 —

Je pose

\vec{AD} = \alpha\vec{AB} + \beta\vec{AC}

et j'identifie les coordonnées pour obtenir un système de 3 équations à 2 inconnues

\alpha

\beta

Je pose $(0,1,1) = \alpha(-1,1,0) + \beta(-1,0,1)$ : $\begin{cases} -\alpha - \beta = 0 \\ \alpha = 1 \\ \beta = 1 \end{cases}$ .

Étape 3 —

Je résous le système avec les deux premières équations, puis je vérifie si les valeurs trouvées satisfont la troisième.

Des équations 2 et 3 : $\alpha = 1$ et $\beta = 1$ . Vérification dans l'équation 1 : $-1 - 1 = -2 \neq 0$ . Système incompatible.

Étape 4 —

Si le système est compatible, les quatre points sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.

$\vec{AD}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ : les quatre points ne sont pas coplanaires.

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ ne sont pas coplanaires.

Application guidée

Les points $A(0,0,0)$ , $B(1,0,0)$ , $C(0,1,0)$ et $D(2,3,0)$ sont-ils coplanaires ?

Application autonome 1

Les points $A(1,1,1)$ , $B(2,1,0)$ , $C(1,3,1)$ et $D(3,3,0)$ sont-ils coplanaires ?

Application autonome 2

Les points $A(1, 0, 1)$ , $B(2, 1, 0)$ , $C(0, 2, 1)$ et $D(3, 3, -1)$ sont-ils coplanaires ?

Application autonome 3

Les points $A(0, 0, 0)$ , $B(1, 2, 0)$ , $C(0, 1, 2)$ et $D(2, 5, 2)$ sont-ils coplanaires ?

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En montrant que AD⃗\vec{AD}AD est combinaison linéaire de AB⃗\vec{AB}AB et AC⃗\vec{AC}AC pour la coplanarité de A, B, C, D

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour la coplanarité de A, B, C, D