Comment étudier l'alignement ou la coplanarité de points ?

En montrant que $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour la coplanarité de A, B, C, D

L'objectif

Déterminer si quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires en testant si $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .

Le principe

Quatre points $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sont coplanaires si et seulement si $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ (en supposant $A$ , $B$ , $C$ non alignés).

La méthode

1
Je calcule les coordonnées de $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ et $\vec{AD}$ .
2
Je pose $\vec{AD} = \alpha\vec{AB} + \beta\vec{AC}$ et j'identifie les coordonnées pour obtenir un système de 3 équations à 2 inconnues $\alpha$ et $\beta$ .
Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?Voir
3
Je résous le système avec les deux premières équations, puis je vérifie si les valeurs trouvées satisfont la troisième.
4
Si le système est compatible, les quatre points sont coplanaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En montrant que AD⃗\vec{AD}AD est combinaison linéaire de AB⃗\vec{AB}AB et AC⃗\vec{AC}AC pour la coplanarité de A, B, C, D

Exemple corrigé

En montrant que $\vec{AD}$ est combinaison linéaire de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ pour la coplanarité de A, B, C, D