Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?

En posant $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ et en résolvant le système d'équations sur les coordonnées

L'objectif

Trouver les coefficients $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ en résolvant un système linéaire.

Le principe

L'égalité de deux vecteurs est équivalente à l'égalité coordonnée par coordonnée, ce qui fournit autant d'équations que de dimensions.

La méthode

1
Je pose $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ et j'écris les coordonnées de chaque vecteur.
2
J'identifie les coordonnées : j'obtiens un système de 2 (ou 3) équations à 2 inconnues $\alpha$ et $\beta$ .
3
Je résous le système (substitution ou opérations sur les lignes) pour trouver $\alpha$ et $\beta$ .
4
Si le système est compatible, je conclue en écrivant $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ avec les valeurs trouvées ; sinon, $\vec{w}$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Difficulté croissante de 1 à 4

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En posant w⃗=αu⃗+βv⃗\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}w=αu+βv et en résolvant le système d'équations sur les coordonnées