Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?

En exploitant les propriétés géométriques de la figure (milieu, parallélisme, relation de Chasles) pour identifier les coefficients directement

L'objectif

Exprimer un vecteur comme combinaison linéaire en utilisant directement la géométrie de la figure plutôt qu'un système algébrique.

Le principe

La relation de Chasles permet de décomposer tout vecteur en passant par des points intermédiaires, et les propriétés de milieu ou de parallélisme fixent les coefficients.

La méthode

1
J'identifie les vecteurs de référence $\vec{u}$ et $\vec{v}$ disponibles dans la figure (par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ).
2
J'applique la relation de Chasles pour décomposer le vecteur cible en passant par des points connus : $\vec{XY} = \vec{XA} + \vec{AY}$ .
3
J'utilise les propriétés de la figure (milieu : $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$ ; parallélisme : $\vec{CD} = k\vec{AB}$ ) pour exprimer chaque morceau en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
4
Je simplifie et je lis directement les coefficients de la combinaison linéaire.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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