En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles ( $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$ )

Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires en cherchant un coefficient de proportionnalité entre leurs coordonnées.

L'objectif

Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires en cherchant un coefficient de proportionnalité entre leurs coordonnées.

Le principe

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ (ou $\vec{u} = \vec{0}$ ).

La méthode

1
Je calcule les coordonnées des deux vecteurs (ou je les lis directement si elles sont données).
2
Je cherche $\lambda$ à partir d'une coordonnée non nulle de $\vec{u}$ : $\lambda = \frac{v_i}{u_i}$ .
3
Je vérifie que ce même $\lambda$ convient pour toutes les autres coordonnées.
4
Je conclus : si $\lambda$ est le même pour toutes les coordonnées, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Vérifier si $\vec{u} = (2, -4)$ et $\vec{v} = (-3, 6)$ sont colinéaires.

Étape 1 —

Je calcule les coordonnées des deux vecteurs (ou je les lis directement si elles sont données).

Les coordonnées sont $\vec{u} = (2, -4)$ et $\vec{v} = (-3, 6)$ .

Étape 2 —

Je cherche

\lambda

à partir d'une coordonnée non nulle de

\vec{u}

\lambda = \frac{v_i}{u_i}

À partir de la première coordonnée : $\lambda = \frac{-3}{2}$ .

Étape 3 —

Je vérifie que ce même

\lambda

convient pour toutes les autres coordonnées.

Je vérifie la deuxième : $\lambda \times (-4) = \frac{-3}{2} \times (-4) = 6$ ✓.

Étape 4 —

Je conclus : si

\lambda

est le même pour toutes les coordonnées, les vecteurs sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.

Le coefficient est le même pour toutes les coordonnées : $\vec{v} = -\frac{3}{2}\vec{u}$ , donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires : $\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\vec{u}$ .

Application guidée

Vérifier si $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 5)$ sont colinéaires.

Application autonome 1

Dans l'espace, vérifier si $\vec{u} = (2, -1, 4)$ et $\vec{v} = (6, -3, 12)$ sont colinéaires.

Application autonome 2

Dans l'espace, vérifier si $\vec{u} = (1, 0, 2)$ et $\vec{v} = (2, 1, 4)$ sont colinéaires.

Application autonome 3

Vérifier si $\vec{u} = (-3, 2, 5)$ et $\vec{v} = (6, -4, -10)$ sont colinéaires.

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En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles (v⃗=λu⃗\vec{v} = \lambda\vec{u}v=λu pour un certain λ∈R\lambda \in \mathbb{R}λ∈R)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que leurs coordonnées sont proportionnelles ( $\vec{v} = \lambda\vec{u}$ pour un certain $\lambda \in \mathbb{R}$ )