Comment reconnaître si des vecteurs forment une base d'un plan ou de l'espace ?
En vérifiant que les vecteurs ne sont pas colinéaires (base d'un plan) ou non coplanaires (base de l'espace) par leurs coordonnées
L'objectif
Déterminer si des vecteurs forment une base du plan ou de l'espace en testant leur indépendance linéaire.
Le principe
Deux vecteurs non nuls et non colinéaires forment une base du plan ; trois vecteurs forment une base de l'espace si et seulement si le troisième n'est pas dans le plan engendré par les deux premiers (non coplanaires).
La méthode
- 1Je lis ou calcule les coordonnées des vecteurs à tester.
- 2Pour deux vecteurs (base du plan) : je vérifie que leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
- 3Pour trois vecteurs (base de l'espace) : je suppose que et je résous le système ; s'il est incompatible, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?Voir
- 4Je conclus : si les vecteurs passent le test d'indépendance, ils forment une base (du plan ou de l'espace selon le contexte).
Exemple corrigé
Difficulté croissante de 1 à 4
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