Comment reconnaître si des vecteurs forment une base d'un plan ou de l'espace ? | MetMat

Comment reconnaître si des vecteurs forment une base d'un plan ou de l'espace ?

En vérifiant que les vecteurs ne sont pas colinéaires (base d'un plan) ou non coplanaires (base de l'espace) par leurs coordonnées

Déterminer si des vecteurs forment une base du plan ou de l'espace en testant leur indépendance linéaire.

L'objectif

Déterminer si des vecteurs forment une base du plan ou de l'espace en testant leur indépendance linéaire.

Le principe

Deux vecteurs non nuls et non colinéaires forment une base du plan ; trois vecteurs forment une base de l'espace si et seulement si le troisième n'est pas dans le plan engendré par les deux premiers (non coplanaires).

La méthode

1
Je lis ou calcule les coordonnées des vecteurs à tester.
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Pour deux vecteurs (base du plan) : je vérifie que leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.
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Pour trois vecteurs (base de l'espace) : je suppose que $\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ et je résous le système ; s'il est incompatible, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.
Comment exprimer un vecteur comme combinaison linéaire d'autres vecteurs ?Voir
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Je conclus : si les vecteurs passent le test d'indépendance, ils forment une base (du plan ou de l'espace selon le contexte).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Les vecteurs $\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 4)$ forment-ils une base du plan ?

Étape 1 —

Je lis ou calcule les coordonnées des vecteurs à tester.

$\vec{u} = (1, 2)$ et $\vec{v} = (3, 4)$ .

Étape 2 —

Pour deux vecteurs (base du plan) : je vérifie que leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles.

Je cherche si les coordonnées sont proportionnelles : $\frac{3}{1} = 3$ mais $\frac{4}{2} = 2 \neq 3$ .

Étape 3 —

Pour trois vecteurs (base de l'espace) : je suppose que

\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}

et je résous le système ; s'il est incompatible, les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

Les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.

Étape 4 —

Je conclus : si les vecteurs passent le test d'indépendance, ils forment une base (du plan ou de l'espace selon le contexte).

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls et non colinéaires : ils forment une base du plan.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ forment une base du plan.

Application guidée

Les vecteurs $\vec{u} = (1, -2)$ et $\vec{v} = (-2, 4)$ forment-ils une base du plan ?

Application autonome 1

Les vecteurs $\vec{u} = (1, 0, 0)$ , $\vec{v} = (0, 1, 0)$ et $\vec{w} = (0, 0, 1)$ forment-ils une base de l'espace ?

Application autonome 2

Les vecteurs $\vec{u} = (1, 1, 0)$ , $\vec{v} = (0, 1, 1)$ et $\vec{w} = (2, 3, 1)$ forment-ils une base de l'espace ?

Application autonome 3

Les vecteurs $\vec{u} = (1, 2, 1)$ , $\vec{v} = (0, 1, 3)$ et $\vec{w} = (2, 5, 5)$ forment-ils une base de l'espace ?

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